Teorema di differenziazione di Lebesgue
Sia A un insieme misurabile di $R^n$ con |A|>0. Per ogni $x in R^n$ sia definita dist(x,A)=inf|x-a| (l'inf è fatto sugli elementi a di A).
Mostrare che:
1) per ogni $a in A$ si ha $dist(x+a,A)<=|x|$
2) per quasi ogni $a in A$ si ha $dist(x+a,A)=o(|x|)$ per $x to 0$.
Mostrare che:
1) per ogni $a in A$ si ha $dist(x+a,A)<=|x|$
2) per quasi ogni $a in A$ si ha $dist(x+a,A)=o(|x|)$ per $x to 0$.
Risposte
Il fatto è che non riesco a capire che strumenti usare per risolvere l'esercizio. Riguarda l'Analisi Reale, probabilmente si deve sfruttare il Teorema di Differenziazione di Lebesgue, la funzione massimale di Hardy-Littlewood o qualcosa di simile.
La prima affermazione dovrebbe essere una semplice conseguenza della disuguaglianza traingolare.
La seconda invece è piuttosto fine - io intravedo una strada che usa due risultati "hard" della teoria dell'integrazione
secondo Lebesgue e che provo a indicarti. I risultati di cui parlo sono:
1) ogni funzione lipschiana è differenziabile secondo Frechet in quasi ogni punto
2) per ogni funzione localmente integrabile si ha
$\lim_{r\to0}\frac{1}{\omega_Nr^N}\int_{B(x_0,r)}f(x)dx=f(x_0)$ per quasi ogni $x_0$
(dove $\omega_N$ è il volume della palla unitaria unidimensionale).
Da 2) si deduce in particolare che se $A$ è un insieme misurabile allora
3) $\lim_{r\to0}\frac{1}{\omega_Nr^N}"mis"(A\cap B(x_0,R))=1$ per quasi ogni $x_0$ di $A$.
(applica la 2) all'indicatrice di $A$ - nota che se $A$ è trascurabile la 3) non dice nulla ...).
Allora per dimostrare la seconda affermazione prendi $d(x)=dist(x,A)$. Tale $d$ è lipschitziana di costante 1 per la
prima affermazione e quindi è quasi ovunque differenziabile.
Dico che il differenziale di $d$ è quasi ovunque nullo in $A$ (come conseguenza della 3) ).
Per vederlo prendiamo un punto $x_0$ di $A$ in cui $d$ è differenziabile.
Se il differenziale di $d$ in $x_0$ non è nullo allora possiamo considerare il gradiente $w_0\ne 0$ di $d$ in $x_0$ e si ha
$d(x)=d(x_0)+w_0(x-x_0)+o(|x-x_0|)=w_0(x-x_0)+|x-x_0|\sigma(x)$, dove $\sigma(x)\to0$ per $x\to x_0$.
Ne segue che, preso un qualunque $\epsilon>0$ esiste $\bar r$ tale che per $0
Quindi $"mis"(B(x_0,r)\cap A)\leq \omega_{N-1}r^{N-1}2\epsilon |w_0|^{-2}r=2\epsilon |w_0|^{-2}\omega_{N-1}r^{N}$ da cui, per $0
e quindi $\lim_{r\to0}\frac{1}{\omega_Nr^N}"mis"(A\cap B(x_0,R))=0$.
Dato che per 3) questo limite deve fare uno per quasi ogni $x_0$ non è possibile che il differenziale sia diverso da zero (a parte un insieme trascurabile di $x_0$).
Non è difficile vedere ora che, se in $x_0$ $d$ ha differenziale zero deve essere $dist(x_0+h,A)=o(|h|)$.
La cosa in effetti non è semplicissima (spero non ci siano troppe sviste ...
). Può darsi che ci sia una strada un po' più semplice, dato che in realtà il punto 3)
non mi serve nella sua interezza.
La seconda invece è piuttosto fine - io intravedo una strada che usa due risultati "hard" della teoria dell'integrazione
secondo Lebesgue e che provo a indicarti. I risultati di cui parlo sono:
1) ogni funzione lipschiana è differenziabile secondo Frechet in quasi ogni punto
2) per ogni funzione localmente integrabile si ha
$\lim_{r\to0}\frac{1}{\omega_Nr^N}\int_{B(x_0,r)}f(x)dx=f(x_0)$ per quasi ogni $x_0$
(dove $\omega_N$ è il volume della palla unitaria unidimensionale).
Da 2) si deduce in particolare che se $A$ è un insieme misurabile allora
3) $\lim_{r\to0}\frac{1}{\omega_Nr^N}"mis"(A\cap B(x_0,R))=1$ per quasi ogni $x_0$ di $A$.
(applica la 2) all'indicatrice di $A$ - nota che se $A$ è trascurabile la 3) non dice nulla ...).
Allora per dimostrare la seconda affermazione prendi $d(x)=dist(x,A)$. Tale $d$ è lipschitziana di costante 1 per la
prima affermazione e quindi è quasi ovunque differenziabile.
Dico che il differenziale di $d$ è quasi ovunque nullo in $A$ (come conseguenza della 3) ).
Per vederlo prendiamo un punto $x_0$ di $A$ in cui $d$ è differenziabile.
Se il differenziale di $d$ in $x_0$ non è nullo allora possiamo considerare il gradiente $w_0\ne 0$ di $d$ in $x_0$ e si ha
$d(x)=d(x_0)+w_0(x-x_0)+o(|x-x_0|)=w_0(x-x_0)+|x-x_0|\sigma(x)$, dove $\sigma(x)\to0$ per $x\to x_0$.
Ne segue che, preso un qualunque $\epsilon>0$ esiste $\bar r$ tale che per $0
Quindi $"mis"(B(x_0,r)\cap A)\leq \omega_{N-1}r^{N-1}2\epsilon |w_0|^{-2}r=2\epsilon |w_0|^{-2}\omega_{N-1}r^{N}$ da cui, per $0
e quindi $\lim_{r\to0}\frac{1}{\omega_Nr^N}"mis"(A\cap B(x_0,R))=0$.
Dato che per 3) questo limite deve fare uno per quasi ogni $x_0$ non è possibile che il differenziale sia diverso da zero (a parte un insieme trascurabile di $x_0$).
Non è difficile vedere ora che, se in $x_0$ $d$ ha differenziale zero deve essere $dist(x_0+h,A)=o(|h|)$.
La cosa in effetti non è semplicissima (spero non ci siano troppe sviste ...
). Può darsi che ci sia una strada un po' più semplice, dato che in realtà il punto 3)non mi serve nella sua interezza.
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