Teorema di derivazione delle funzioni composte.
Buongiorno,
prima di proporre l'enunciato e la dimostrazione del teorema citato nel titolo, volevo sapere se fosse possibile inserire le immagine della dimostrazione del teorema
Cordiali saluti.
prima di proporre l'enunciato e la dimostrazione del teorema citato nel titolo, volevo sapere se fosse possibile inserire le immagine della dimostrazione del teorema
Cordiali saluti.
Risposte
Sai bene che è preferibile scriverne enunciato(che è pure corto) e dimostrazione.
Vedi: sono già qui pronto ad aiutarti
Vedi: sono già qui pronto ad aiutarti
Buongiorno anto_zoolander, sempre gentilissimo.
Scusami se rispondo ora, comunque in allegato sono presenti le foto della dimostrazione.
Il passo che non mi torna chiaro della dimostrazione è nell'immagine , penso che il concetto della dimostrazione si basa su questo "correggimi se sbaglio
":
1) La prima parte della dimostrazione consiste nel far vedere che la funzione composta $f(g(x))$ risulta derivabile nel punto $x$, ma con la condizione $g(x+h) ne g(x)$ per ogni $h ne 0$, quindi poco utile.
2) Considera la funzione rapporto incrementale $F(k)$ della funzione composta $f(g(x))$, in quanto ci dà la possibilità di dire che la funzione composta risulta derivabile in $k$ se e solo se la funzione rapporto incrementale $f(k)$ ha un prolungamento continuo in $k$.
Lo è per come è stata definita.
Per cui la funzione composta è derivabile in $y=g(x)$, dobbiamo verificare che la funzione composta risulti derivabile in $x$.
Ora la scelta della posizione $k$, sfrutta il teorema sulla continuità delle funzione composte ?!?
Qui entri in gioco tu ' forse prima '
Scusami se rispondo ora, comunque in allegato sono presenti le foto della dimostrazione.
Il passo che non mi torna chiaro della dimostrazione è nell'immagine , penso che il concetto della dimostrazione si basa su questo "correggimi se sbaglio
":1) La prima parte della dimostrazione consiste nel far vedere che la funzione composta $f(g(x))$ risulta derivabile nel punto $x$, ma con la condizione $g(x+h) ne g(x)$ per ogni $h ne 0$, quindi poco utile.
2) Considera la funzione rapporto incrementale $F(k)$ della funzione composta $f(g(x))$, in quanto ci dà la possibilità di dire che la funzione composta risulta derivabile in $k$ se e solo se la funzione rapporto incrementale $f(k)$ ha un prolungamento continuo in $k$.
Lo è per come è stata definita.
Per cui la funzione composta è derivabile in $y=g(x)$, dobbiamo verificare che la funzione composta risulti derivabile in $x$.
Ora la scelta della posizione $k$, sfrutta il teorema sulla continuità delle funzione composte ?!?
Qui entri in gioco tu
' forse prima '
Ciao galles!
questa è una condizione non necessaria, infatti.
Ti faccio vedere una dimostrazione 'classica' di questo fatto, che è facilmente comprensibile, e che poi con i dovuti accorgimenti puoi adattare al caso tuo.
si considera la derivabilità di $f$ in $g(x)$(di fatto $f$ deve essere per ipotesi derivabile in $g(x)$)
di fatto, come ben saprai, la più generale definizione di derivata è proprio questa e ora vediamo il motivo per cui è conveniente partire da quì
intanto essendo $g$ derivabile in $x$ è sicuramente continua quindi possiamo ben pensare di sostituire a $k$ la quantità $g(x+h)-g(x)$. Questo perché quella uguaglianza sopra è valida in un intorno di $k=0$ e supponiamo che sia $(-delta,delta)$. Dalla continuità di $g$ segue sicuramente che esiste almeno un $delta'>0$ per cui se $|h|
quindi possiamo scrivere $f(g(x+h))=f(g(x))+f'(g(x))*(g(x+h)-g(x))+o(g(x+h)-g(x))$
ora quì è sufficiente dividere per $h$ che prendiamo nello stesso intorno, ma bucato.
è chiaro che la quantità problematica è quella dove c'è 'o piccolo'. Quì molto spesso si divide per $g(x+h)-g(x)$ cosa che chiede l'esser $g(x+h)-g(x)$ in almeno un intorno di $h=0$ e che in realtà non serve, in quanto:
per definizione stessa di 'o piccolo' dove $lim_(h->0)omega(h)=0$
a questo punto è chiaro che $lim_(h->0)(g(x+h)-g(x))/h* omega(h)=lim_(h->0)(g(x+h)-g(x))/h* lim_(h->0)omega(h)=0$
si è usato il teorema sul prodotto dei limiti in quanto entrambi i limiti esistono e quindi possiamo spezzarlo nel prodotto dei limiti.
quindi risulta $lim_(h->0) (f(g(x+h))-f(g(x)))/h = f'(g(x))*g'(x)$
Tornando al motivo per cui usare la definizione di 'o piccolo' sia meglio: la definizione chiede che quella uguaglianza sia vera in almeno un intorno di un punto, e non in un intorno bucato.
Di fatto è noto come $f=o(g) <=> f/g->0$ quando $g$ è non nulla in un intorno del punto in cui si fa il limite e che quindi questa equivalenza non sia vera in generale, ma soltanto sotto questa ipotesi.
[ot]ho avuto lo stesso problema quì quando ho cercato di generalizzare il differenziale della composizione di funzioni: la condizione che quello che sta dentro debba essere non nullo in un intorno è superflua: basta interpretare meglio l'o piccolo[/ot]
"galles90":
1) La prima parte della dimostrazione consiste nel far vedere che la funzione composta $ f(g(x)) $ risulta derivabile nel punto $ x $, ma con la condizione $ g(x+h) ne g(x) $ per ogni $ h ne 0 $, quindi poco utile.
questa è una condizione non necessaria, infatti.
Ti faccio vedere una dimostrazione 'classica' di questo fatto, che è facilmente comprensibile, e che poi con i dovuti accorgimenti puoi adattare al caso tuo.
si considera la derivabilità di $f$ in $g(x)$(di fatto $f$ deve essere per ipotesi derivabile in $g(x)$)
$f(g(x)+k)=f(g(x))+f'(g(x))k+o(k)$
di fatto, come ben saprai, la più generale definizione di derivata è proprio questa e ora vediamo il motivo per cui è conveniente partire da quì
intanto essendo $g$ derivabile in $x$ è sicuramente continua quindi possiamo ben pensare di sostituire a $k$ la quantità $g(x+h)-g(x)$. Questo perché quella uguaglianza sopra è valida in un intorno di $k=0$ e supponiamo che sia $(-delta,delta)$. Dalla continuità di $g$ segue sicuramente che esiste almeno un $delta'>0$ per cui se $|h|
quindi possiamo scrivere $f(g(x+h))=f(g(x))+f'(g(x))*(g(x+h)-g(x))+o(g(x+h)-g(x))$
$f(g(x+h))-f(g(x))=f'(g(x))*(g(x+h)-g(x))+o(g(x+h)-g(x))$
ora quì è sufficiente dividere per $h$ che prendiamo nello stesso intorno, ma bucato.
$(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=f'(g(x))*((g(x+h)-g(x))/h)+(o(g(x+h)-g(x)))/h$
è chiaro che la quantità problematica è quella dove c'è 'o piccolo'. Quì molto spesso si divide per $g(x+h)-g(x)$ cosa che chiede l'esser $g(x+h)-g(x)$ in almeno un intorno di $h=0$ e che in realtà non serve, in quanto:
$(o(g(x+h)-g(x)))/h=(g(x+h)-g(x))/h* omega(h)$
per definizione stessa di 'o piccolo' dove $lim_(h->0)omega(h)=0$
a questo punto è chiaro che $lim_(h->0)(g(x+h)-g(x))/h* omega(h)=lim_(h->0)(g(x+h)-g(x))/h* lim_(h->0)omega(h)=0$
si è usato il teorema sul prodotto dei limiti in quanto entrambi i limiti esistono e quindi possiamo spezzarlo nel prodotto dei limiti.
quindi risulta $lim_(h->0) (f(g(x+h))-f(g(x)))/h = f'(g(x))*g'(x)$
Tornando al motivo per cui usare la definizione di 'o piccolo' sia meglio: la definizione chiede che quella uguaglianza sia vera in almeno un intorno di un punto, e non in un intorno bucato.
Di fatto è noto come $f=o(g) <=> f/g->0$ quando $g$ è non nulla in un intorno del punto in cui si fa il limite e che quindi questa equivalenza non sia vera in generale, ma soltanto sotto questa ipotesi.
[ot]ho avuto lo stesso problema quì quando ho cercato di generalizzare il differenziale della composizione di funzioni: la condizione che quello che sta dentro debba essere non nullo in un intorno è superflua: basta interpretare meglio l'o piccolo[/ot]
Buongiorno anto_zoolander, ci sono quasi, ma preferisco discuterla per punti cosi non faccio confusione
allora quando dici :
l'intendo di far vedere la funzione nell'intorno $(-delta,delta)$ qual'è ?
Ti dico la mia sperando che sia giusta ;
facciamo questa osservazione in quanto vogliamo assicurarci che la funzione composta, prenda valori in tale intorno e di conseguenza possiamo ricavarci l'intorno del punto $x$.
allora quando dici :
"anto_zoolander":
intanto essendo $ g $ derivabile in $ x $ è sicuramente continua quindi possiamo ben pensare di sostituire a $ k $ la quantità $ g(x+h)-g(x) $. Questo perché quella uguaglianza sopra è valida in un intorno di $ k=0 $ e supponiamo che sia $ (-delta,delta) $. Dalla continuità di $ g $ segue sicuramente che esiste almeno un $ delta'>0 $ per cui se $ |h| allora $ |g(x+h)-g(x)| ossia che $ g(x+h)-g(x) in (-delta,delta) $
l'intendo di far vedere la funzione nell'intorno $(-delta,delta)$ qual'è ?
Ti dico la mia sperando che sia giusta ;
facciamo questa osservazione in quanto vogliamo assicurarci che la funzione composta, prenda valori in tale intorno e di conseguenza possiamo ricavarci l'intorno del punto $x$.
Scusami ho studiato tutto il giorno 
l'uguaglianza $f(g(x)+k)=f(g(x))+f'(g(x))k+o(k)$ è valida in un intorno di $k=0$
La continuità di $g$ ci garantisce che esiste almeno un intorno di $h=0$ per cui $g(x+h)-g(x)$ sta nell'intorno di $k=0$. In poche parole la continuità di $g$ ci permette di fare la sostituzione $k=g(x+h)-g(x)$ senza problemi
l'uguaglianza $f(g(x)+k)=f(g(x))+f'(g(x))k+o(k)$ è valida in un intorno di $k=0$
La continuità di $g$ ci garantisce che esiste almeno un intorno di $h=0$ per cui $g(x+h)-g(x)$ sta nell'intorno di $k=0$. In poche parole la continuità di $g$ ci permette di fare la sostituzione $k=g(x+h)-g(x)$ senza problemi
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