Teorema di derivabilità della funzione inversa
ciao ragazzi. purtroppo non sono potuto andare ala correzione dell'ultimo esame di analisi e quindi i miei dubi su un paio di esercizi sono rimasti. Allora il secondo diceva:
- sia $f(x)$ = $e^arccosx$, dimostrare che è invertibile e utilizzando il teorema di dirivabiloità della funzione inversa, stabilire se $f^-1$ è derivabile nel punto $y_0$ = 1 e calcolare il valore di tale derivata.
Allora per il primo punto non ho avuto problemi, in quanto basta vedere se la funzione è strettamente monotona e possiamo capire se la funzione è invertibile. Ora per il secondo punto, se non sbaglio il teorema afferma che se una funzione è derivabile, anche la sua inversa sarà derivabile. Quindi basterà calcolare la derivata di $1/$e^arccosx$$ nel punto $y_0$.
Volevo sapere se il mio ragionamento è valido o fa cqua da tutte le parti.
Grazie
- sia $f(x)$ = $e^arccosx$, dimostrare che è invertibile e utilizzando il teorema di dirivabiloità della funzione inversa, stabilire se $f^-1$ è derivabile nel punto $y_0$ = 1 e calcolare il valore di tale derivata.
Allora per il primo punto non ho avuto problemi, in quanto basta vedere se la funzione è strettamente monotona e possiamo capire se la funzione è invertibile. Ora per il secondo punto, se non sbaglio il teorema afferma che se una funzione è derivabile, anche la sua inversa sarà derivabile. Quindi basterà calcolare la derivata di $1/$e^arccosx$$ nel punto $y_0$.
Volevo sapere se il mio ragionamento è valido o fa cqua da tutte le parti.
Grazie
Risposte
ho sbagliato a scrivere nella seconda parte, chiaramente volevo dire basterà calcolare la derivata di $1/e^arccosx$ nel punto $y_0$. Scusate
Veditelo bene il teorema di derivabilità della funzione inversa. Se nel punto \(x_0\) corrispondente ad \(y_0\) (nel senso che \(f(x_0)=y_0\)) succede che \(f'(x_0)=0\) che fai? Tu non hai tenuto conto di questa eventualità. (Questo teorema è da pensarsi geometricamente. Il grafico della funzione inversa si ottiene dal grafico della funzione originaria facendo una riflessione rispetto alla bisettrice del primo quadrante. Cosa succede alla tangente di un punto a tangente orizzontale, dopo la riflessione? Alla luce di questo, la funzione inversa potrà essere derivabile nel punto assegnato?)
E poi la formula non è quella. Insomma, questo teorema non lo hai capito, ti conviene ristudiarlo.
E poi la formula non è quella. Insomma, questo teorema non lo hai capito, ti conviene ristudiarlo.
Intanto dissonance grazie mille per la risposta 
. Io il teorema ce l'ho cosi in testa: verificato che la funzione sia continua nell'intervallo e derivabile in un $x_0$, e chiaramente la derivata in quel $x_0$ è diversa da zero, e detto appunto $f(x_0)=y_0$ , allora esiste la funzione inversa $f^-1$ e la derivata di $f^-1$ nel punto $y_0$ è uguale a $1/f'(x_0)$ .
. Io il teorema ce l'ho cosi in testa: verificato che la funzione sia continua nell'intervallo e derivabile in un $x_0$, e chiaramente la derivata in quel $x_0$ è diversa da zero, e detto appunto $f(x_0)=y_0$ , allora esiste la funzione inversa $f^-1$ e la derivata di $f^-1$ nel punto $y_0$ è uguale a $1/f'(x_0)$ .
Ah ecco. 
E ma adesso è cambiato rispetto a prima, però, adesso è giusto. (Attenzione però quando dici "esiste la funzione inversa", questo è un tasto delicato. Questo teorema funziona se sai a priori che la funzione inversa esiste, e questo lo puoi capire usando la monotonia).
Ti tocca solamente applicarlo. Quindi: trova \(x_0\), trova \(f'(x_0)\) e calcola \(1/f'(x_0)\). E NON dire più strafalcioni tipo
\[\tag{!!}\left(\frac{1}{f(x)}\right)'=\frac{1}{f'(x)}.\]
E ma adesso è cambiato rispetto a prima, però, adesso è giusto. (Attenzione però quando dici "esiste la funzione inversa", questo è un tasto delicato. Questo teorema funziona se sai a priori che la funzione inversa esiste, e questo lo puoi capire usando la monotonia). Ti tocca solamente applicarlo. Quindi: trova \(x_0\), trova \(f'(x_0)\) e calcola \(1/f'(x_0)\). E NON dire più strafalcioni tipo
\[\tag{!!}\left(\frac{1}{f(x)}\right)'=\frac{1}{f'(x)}.\]
hahahahaha grazie mille.
ma \(\displaystyle x_0 \) come lo trovo?
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