Teorema di De l'Hopital

[Usernamer1]

Buonasera a tutti, perché nell'enunciato del teorema qui http://www.****.it/lezioni/analisi-m ... pital.html si mette $ x->a^+ $ o $ x->b^- $ ?
Essendo applicabile anche in una $ x_0in ]a,b[ $ non andrebbe scritto come nella versione di wikipedia? http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_ ... C3%B4pital

Se le due scritture sono equivalenti qualcuno può spiegarmi il perché?

[Rigel1]

Lo puoi utilizzare sia per limiti del tipo \(x\to x_0\), che per limiti unilateri del tipo \(x\to x_0^+\) oppure \(x\to x_0^-\), sia per limiti per \(x\to\pm\infty\)...

[asromavale1]

riporto la dimostrazione del teorema di De l' Hopital fiducioso che qualcuno possa chiarire i miei dubbi.
siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni derivabili in $[a,b]-{x_0}$ e tali che
(1) $ lim_(x -> x_0)f(x)=lim_(x -> x_0)g(x)=0 $

se $g'(x)!=0$ per ogni $x in [a,b]-{x_0}$ e se esiste il limite
(2) $ lim_(x -> x_0)(f'(x))/(g'(x)) $

allora esiste anche il limite per $x\rightarrowx_0$ del rapporto $(f(x))/(g(x))$ e si ha
(3) $ lim_(x -> x_0)(f(x))/(g(x)) =lim_(x -> x_0)(f'(x))/(g'(x) $
dimostrazione: utilizzando l' ipotesi (1), estendiamo per continuità $f(x),g(x)$ nel punto $x_0$ con il valore $0$;poniamo cioè $f(0)=g(0)=0$ ( e qui il mio primo dubbio. forse intendeva dire $f(x_0)=g(x_0)=0$?).Così definite $f(x),g(x)$ risultano continue negli intervalli $[a,x_0],[x_0,b]$ (se $a!=x_0!=b$) ( e qui un ulteriore dubbio;perche deve essere $a!=x_0!=b$,in tal caso le funzioni non sarebbero lo stesso continue?) e derivabili in $(a,x_0),(x_o,b)$.
consideriamo una generica successione $x_n$ convergente ad $x_0$ e tale che $x_n in [a,b]-{x_0},AA n in N$.per il teorema di Cauchy applicato all' intervallo di estremi $x_0$ e $x_n$ , per ogni $n$ esiste un punto $x'_n$ interno a tale intervallo per cui
(4) $(f(x_n))/(g(x_n))=(f(x_n)-f(x_0))/(g(x_n)-g(x_0))=(f'(x'_n))/(g'(x'_n))$
dato che $x'_n$ è per ogni $n in N $, interno all' intervallo di estremi $x_0$ e $x_n$, la successione $x'_n$ converge ad $x_0$ per $n\rightarrow +oo$. perciò
(5) $ lim_(x -> +oo)(f(x_n))/(g(x_n)) =lim_(x -> +oo)(f'(x'_n))/(g'(x'_n)) = lim_(x -> x_0)(f'(x))/(g'(x)) $
; l' ultimo passaggio vale perchè il limite (2) esiste per ipotesi.
pertanto il limite a primo membro della (5) è indipendente dalla particolare successione $x_n \rightarrow x_0$; per la caratterizzazione dei limiti di funzioni mediante successioni ( teorema ponte),ne segue che esiste il limite a primo membro della seguente relazione conclusiva :
$ lim_(x -> x_0)(f(x))/(g(x)) =lim_(x -> +oo)(f(x_n))/(g(x_n)) = lim_(x -> x_0)(f'(x))/(g'(x)) $
Ora i miei dubbi oltre a quei due inseriti tra la dimostrazione sono i seguenti :
(d1) quando all' inizio della dimostrazione si prolungano per continuità le due funzioni $f(x),g(x)$ non si sta in pratica aggiungendo un ulteriore ipotesi al teorema ?
(d2)non riesco a comprendere il perchè dell' uguaglianza : $lim_(x -> +oo)(f'(x'_n))/(g'(x'_n)) = lim_(x -> x_0)(f'(x))/(g'(x))$
capisco che per $n\rightarrow+oo$ la successione $x'_n$ converge ad $x_0$ ma non capisco come questo implichi l' uguaglianza citata.
grazie in anticipo

[Rigel1]

"asromavale":
Ora i miei dubbi oltre a quei due inseriti tra la dimostrazione sono i seguenti :
(d1) quando all' inizio della dimostrazione si prolungano per continuità le due funzioni $f(x),g(x)$ non si sta in pratica aggiungendo un ulteriore ipotesi al teorema ?

No. Di fatto tu stai definendo le nuove funzioni
\[
\tilde{f}(x) := \begin{cases}
f(x), &\text{se}\ x \neq x_0,\\
0, & \text{se}\ x = x_0,
\end{cases}
\]
e analogamente per \(g\). Queste nuove funzioni sono continue per l'ipotesi (1). Per non usare nuovi simboli, continui a chiamarle \(f\) e \(g\).
(Per i due dubbi inseriti ti sei già dato una risposta corretta.)

(d2)non riesco a comprendere il perchè dell' uguaglianza : $lim_(x -> +oo)(f'(x'_n))/(g'(x'_n)) = lim_(x -> x_0)(f'(x))/(g'(x))$
capisco che per $n\rightarrow+oo$ la successione $x'_n$ converge ad $x_0$ ma non capisco come questo implichi l' uguaglianza citata.

Sai che l'ultimo limite esiste per ipotesi. Per il teorema ponte, esiste quindi anche il penultimo limite e assume lo stesso valore.

[asromavale1]

tutto chiaro tranne del perchè $a!=x_0!=b$. se ad esempio fosse $x_0 =a$ le funzioni non sarebbero comunque continue in $[a,x_0],[x_0,b]$?
grazie comunque della celerità

[Rigel1]

"asromavale":tutto chiaro tranne del perchè $a!=x_0!=b$. se ad esempio fosse $x_0 =a$ le funzioni non sarebbero comunque continue in $[a,x_0],[x_0,b]$?

Se fosse \(x_0 = a\) le funzioni sarebbero continue in \([a,b]\) e si starebbe considerando il limite destro in \(a\).

[asromavale1]

per quanto riguarda invece il caso in cui al posto dell 'ipotesi (1) ho l' ipotesi che

(6) $ lim_(x -> x_0) f(x)=lim_(x -> x_0)g(x)=+oo $
mi trovo di fronte ad un ulteriore dubbio.
non riporto la dimostrazione per esteso ma solo la parte che non capisco :
dato che $x'_n in (a,x_n)$, per ogni $n in N$ ,$x'_n$ converge a $x_0$ per $n \rightarrow+oo$; ( dove $x_n$ è una generica successione convergente a $x_0$). perchè $x'_n$ converge a $ x_0$?
nella prima dimostrazone (quella riportata) era chiaro perchè $x'_n in (x_0,x_n)$ ma adesso non capisco perchè $x'_n$ converge a $
p.s. questa è davvero l'ultima domanda

[Rigel1]

Non so come sia la dimostrazione a cui ti riferisci, ma direi che il punto \(x_n'\) anche in questo caso deve stare nell'intervallo aperto di estremi \(x_0\) e \(x_n\); controlla che non si tratti di un banale errore di battitura nel libro.

[asromavale1]

la dimostrazione che ho citato è la seguente:
si noti che l' enunciato è lo stesso del primo teorema postato, con la differenza che sostituisco l'ipotesi (1) con la (6)
dimostriamo la tesi (3) per il limite sinistro $x\rightarrowx_0^-$ (supponendo $x_0>a$) .dato che la dimostrazione per il caso $x\rightarrowx_0^+$ è analoga, combinando i due risultati si ottiene la tesi per il limite completo $x\rightarrowx_0$.
consideriamo una generica successione $x_n in [a,x_0)$ per ogni $n in N$. per il teorema di Cauchy nell' intervallo $[a,x_n]$, per ogni $n in N$ esiste $x'_n in (a,x_n)$ tale che :
(7) $(f'(x'_n))/(g'(x'_n))=((fx_n)-f(a))/(g(x_n)-g(a))=((f(x_n))/(g(x_n))-(f(a))/(g(x_n)))/(1-(g(a))/(g(x_n)))$,
da cui
(8) $ (f(x_n))/(g(x_n))=(f(a))/(g(x_n))+(1-(g(a))/(g(x_n)))*(f'(x'_n))/(g'(x'_n))$

dato che $g(x_n)$ diverge a $+oo$,passando al limite per $n\rightarrow+oo$ in (8) si ottiene :

(9) $ lim_(n -> +oo) (f(x_n))/(g(x_n))=lim_(n -> +oo)(f'(x'_n))/(g'(x'_n)) $

dato che $x'_n in ( a,x_n), AA n in N,x'_n$ converge a $x_0$ per $n\rightarrow+oo$ (ed è proprio questo il punto poco chiaro , perchè $x'_n$ converge a $x_0$?).
dalla (9) e dall' ipotesi di esistenza del limite (2) si deduce che
(10) $ lim_(n -> +oo) (f(x_n))/(g(x_n))=lim_(x -> x_0^-)(f'(x))/(g'(x)) $
poichè il limite a secondo membro di (10) non dipende dalla successione $x_n\rightarrowx_0^-$ si ottiene infine
(11) $ lim_(x -> x_0^-)(f(x))/(g(x))=lim_(x -> x_0^-)(f'(x))/(g'(x))$