Teorema di Darboux

[Pierlu11]

Qualcuno può controllare se la seguente dimostrazione del teorema di Darboux può andar bene $ f $
Teorema: Sia $ f:[a;b]->RR $ continua, allora $ f([a;b])=[f(m),f(M)] $ .
Dimostrazione: Poiché $ f $ è continua l'immagine di un intervallo è un intervallo cioè $ f([a;b])=[c,d] $ . Dal momento che $ [a;b]->f([a;b]) $ è suriettiva, cioè $ AA yinf([a;b]) EE x in[a;b]|f(x)=y $ , è verificata la proprietà di Darboux ($ AA x_1,x_2inIAAyin [f(x_1),f(x_2)] EE x inI|f(x)=y $ ); in particolare è verificata per $ x_1=m $ e $ x_2=M $ . Poiché non esiste $ cf(M) $ $ rArr[c;d]-= [f(m);f(M)] $ .

A me sembra superflua anche la seconda parte... cioè la dimostrazione si ridurrebbe a dimostrare che l'immagine di un intervallo è un intervallo. (In generale l'immagine di un connesso è un connesso)

Inoltre volevo sapere se il fatto che la proprietà di Darboux vale per funzioni continue deriva dal teorema di Darboux o, come ho pensato per la dimostrazione, si dimostra che la proprietà vale per la funzioni continue e di conseguenza il teorema deriva dalla proprietà?

Grazie in anticipo per le risposte...

[Pierlu11]

Non c'è nessuno che può darmi chiarimenti?