Teorema di convergenza monotona Beppo Levi

[giocind_88]

Buongiorno . Chiedo scusa, nel teorema di convergenza monotona di Beppo Levi solitamente si considera la successione fn di funzioni misurabili, non negative e crescente e nella tesi è presente:
$\lim_{n \to \infty}$

Se in un dato esercizio ci troviamo a dover considerare la successione di funzioni con n = $\epsilon$ e che tende a 0, possiamo analogamente utilizzare il contenuto del teorema sopra citato, ovviamente considerando nella tesi:
$\epsilon$ che tende a 0 ?

Vi ringrazio tantissimo per la gentile attenzione.

[Antimius]

E' vero se $\epsilon$ cresce a $0$ o decresce a $0$ e la famiglia $f_{\epsilon}$ è crescente rispetto all'ordine che consideri su $\epsilon$ (cioè è crescente avvicinandoti a $0$).
Infatti per ogni successione $\epsilon_n \downarrow 0$, puoi considerare $g_n = f_{\epsilon_n}$ e applicare il teorema a quelle. Ma se vale per ogni successione suddetta, allora vale per $\epsilon \to 0^+$.
Analogamente per $\epsilon_n \uparrow 0$.

[giocind_88]

Grazie mille ^_^. Non so se ho capito bene
Dato che solitamente $\epsilon$ è arbitrariamente piccolo ma > 0, allora significa che decresce a 0, però la famiglia di funzioni dell'esercizio è crescente all'aumentare del valore positivo di $\epsilon$ ,
è corretta la mia domanda riguardo la validità del contenuto del teorema di Beppo Levi?
Grazie tantissssime

[Antimius]

No, la famiglia deve crescere all'avvicinarsi di $\epsilon$ a $0$, allo stesso modo in cui aumenta quando $n$ si "avvicina" a $\infty$. Il senso di percorrenza te lo dà il limite su $epsilon$ (vai verso 0), e in base a quel senso di percorrenza la famiglia deve crescere.
(In realtà sotto opportune ipotesi, il teorema vale anche per famiglie decrescenti di funzioni)

[giocind_88]

Grazie mille . Non avevo notato prima che c'era una precisa ipotesi:
precisando che la successione di funzioni in questione comprende il prodotto di $\epsilon$ per un'esponenziale e il tutto è elevato alla potenza p-1, c'è l'ipotesi 0< p<1.
Dunque abbiamo che tale successione di funzioni è crescente all'avvicinarsi di $\epsilon$ a 0,è giusto?
Grazie mille.

[Antimius]

Se ho capito bene hai una funzione del tipo $(\epsilon e^{x})^p = \epsilon^p e^{px}$ con $-1 < p < 0$.
Ma allora scriviamola come $\frac{1}{\epsilon^p e^{xp}}$ per $0

\frac{1}{\epsilon^p}$ se $\delta < \epsilon$

Ma in ogni caso non serve il teorema di Beppo-Levi in questo caso, perché $\epsilon$ è solo un fattore moltiplicativo, quindi puoi portarlo fuori dal segno di integrale.

[giocind_88]

Buonasera .
Precisamente è una funzione di quel tipo, elevata però alla p-1, con 0 Sì sì . In realtà ho fatto un esempio "semplificativo" del dubbio che avevo . Se invece si tratta di una funzione integranda razionale nella quale $ \epsilon $ si trova anche al denominatore e si trova "coinvolto" in modo che se lo si porta fuori, comunque resterebbe ad esempio 1/ $ \epsilon $ all'interno della funzione integranda e quindi dell'integrale, allora in questo caso per poter procedere con il calcolo del nostro integrale, devo utilizzare Beppo - Levi, concorda?
Grazie tantisssssssime

[Antimius]

Scrivi direttamente la funzione. Facciamo prima