Teorema di convergenza monotona

[Rattlesnake89]

Ciao,

riflettendo sul teorema di convergenza monotona (tre anni dopo averlo visto la prima volta ), mi sono chiesto: ma per la famosa successione crescente di funzioni, è proprio necessario richiedere che siano non negative?? Se ho una successione crescente, essa sarà:
- o definitivamente positiva, e quindi la tesi del teorema, che riguarda un limite, continua a valere.
- o ovunque negativa, ma allora passando alla successione (monotona decrescente) delle funzioni opposte, ottengo ancora la tesi.

Sbaglio?

Grazie,
Elia

[Rigel1]

Basta che le funzioni siano tutte \(\geq\) di una prefissata funzione integrabile.
In altri termini, il teorema di convergenza monotona vale per una successione di funzioni misurabili
\[
h_1 \leq h_2 \leq h_3\leq \ldots
\]
con \(h_1 \in L^1(\mu)\); basta infatti applicare la "vecchia" versione alla successione di funzioni non negative \(f_j := h_j - h_1\).

[Rattlesnake89]

Giusto, grazie. Nel mio post invece confondevo successioni di funzioni con successioni di numeri. È vero che una successione crescente di numeri è o definitivamente positiva od ovunque negativa. Non è vero invece per una successione crescente di funzioni, ad esempio
\[
h_n(x) =
\begin{cases}
-n^{-1} &x<0 \\
n &x\geq 0
\end{cases}
\]
è crescente ma non ha segno costante, neanche definitivamente.