Teorema di connessione, curiosità
Salve a tutti,
Vi chiedo un parere su un argomento secondo me interessante,
Ho affrontato a lezione il teorema di connessione il quale afferma che data una funzione scalare su un dominio D aperto connesso, differenziabile su ogni punto D, se essa ha su tutto D come differenziale l'operatore nullo allora essa è costante in D.
Ora, se volessi fare un esempio di una funzione che soddisfa tutte le ipotesi tranne il dominio connesso e far vedere che effettivamente non è costante nel dominio, va bene se considero una funzione che ha come dominio l'unione disgiunta di due palle aperte di Rn ?
In secondo luogo,
so che Withney solo nel 1926 dimostro che se il dominio è solo connesso il teorema non vale, dove posso trovare del materiale su questo?
Grazie mille a tutti in anticipo
Vi chiedo un parere su un argomento secondo me interessante,
Ho affrontato a lezione il teorema di connessione il quale afferma che data una funzione scalare su un dominio D aperto connesso, differenziabile su ogni punto D, se essa ha su tutto D come differenziale l'operatore nullo allora essa è costante in D.
Ora, se volessi fare un esempio di una funzione che soddisfa tutte le ipotesi tranne il dominio connesso e far vedere che effettivamente non è costante nel dominio, va bene se considero una funzione che ha come dominio l'unione disgiunta di due palle aperte di Rn ?
In secondo luogo,
so che Withney solo nel 1926 dimostro che se il dominio è solo connesso il teorema non vale, dove posso trovare del materiale su questo?
Grazie mille a tutti in anticipo
Risposte
"A.C.":
Ho affrontato a lezione il teorema di connessione il quale afferma che data una funzione scalare su un dominio D aperto connesso, differenziabile su ogni punto D, se essa ha su tutto D come differenziale l'operatore nullo allora essa è costante in D.
Ora, se volessi fare un esempio di una funzione che soddisfa tutte le ipotesi tranne il dominio connesso e far vedere che effettivamente non è costante nel dominio, va bene se considero una funzione che ha come dominio l'unione disgiunta di due palle aperte di Rn ?
Sì.
In secondo luogo,
so che Withney solo nel 1926 dimostro che se il dominio è solo connesso il teorema non vale, dove posso trovare del materiale su questo?
Con questo intendi che $D$ non è necessariamente aperto?
D deve essere aperto e connesso, se solo connesso non vale il teorema.. dovrebbe essere così
Più che di Whitney io mi preoccuperei di capire cosa voglia dire "differenziale" per una funzione definita su un segmento di $RR^2$...
E siamo a 8001. Mò basta!
E siamo a 8001. Mò basta!
ma perchè questa risposta aggressiva? poi sinceramente io non ho citato nel mio messaggio segmenti di R 2.. . ho scritto palle di R n.... cioè non capisco il tuo intervento...
Leggere e cercare di capire gli interventi altrui è troppa fatica?
Io i tuoi post li ho letti. Tu evidentemente non hai fatto nessuno sforzo per capire quello che dicevo.
Allora, mi dilungo.
Che una funzione ha differenziale nullo su un aperto connesso è costante è un classico teoremino/esercizio di analisi, ed era il punto di partenza del tuo post.
L'esempio delle due palle è ok.
Ma tu citavi un teorema di Whitney, al di fuori della ipotesi che l'insieme sia aperto.
Bene, mi domando se tu ti sia mai chiesto cosa voglia dire che una funzione è differenziabile in un punto che non sia interno al suo insieme di definizione.
Ripeto la domanda: hai mai riflettuto su cosa voglia dire che una funzione definita su un segmento (mi sbaglio o un segmento è un sottoinsieme non aperto di $RR^2$? Non è mica proibto menzionarli, per caso?) sia differenziabile?
Non è meglio provare a riflettere su quanto scrivono gli altri, invece di lamentarsi della loro stringatezza, scambiata per aggressività? Questo post è aggressivo? Pazienza.
Io i tuoi post li ho letti. Tu evidentemente non hai fatto nessuno sforzo per capire quello che dicevo.
Allora, mi dilungo.
Che una funzione ha differenziale nullo su un aperto connesso è costante è un classico teoremino/esercizio di analisi, ed era il punto di partenza del tuo post.
L'esempio delle due palle è ok.
Ma tu citavi un teorema di Whitney, al di fuori della ipotesi che l'insieme sia aperto.
Bene, mi domando se tu ti sia mai chiesto cosa voglia dire che una funzione è differenziabile in un punto che non sia interno al suo insieme di definizione.
Ripeto la domanda: hai mai riflettuto su cosa voglia dire che una funzione definita su un segmento (mi sbaglio o un segmento è un sottoinsieme non aperto di $RR^2$? Non è mica proibto menzionarli, per caso?) sia differenziabile?
Non è meglio provare a riflettere su quanto scrivono gli altri, invece di lamentarsi della loro stringatezza, scambiata per aggressività? Questo post è aggressivo? Pazienza.
grazie mille,
comunque sia non capivo il riferimento perchè non ci avevo effettivamente pensato al segmento come insieme non aperto...
comunque sia non capivo il riferimento perchè non ci avevo effettivamente pensato al segmento come insieme non aperto...
"A.C.":
grazie mille,
comunque sia non capivo il riferimento perchè non ci avevo effettivamente pensato al segmento come insieme non aperto...
Dai un'occhiata a questo post e ai due-tre successivi, abbiamo parlato proprio di questo fatto:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#428014
grazie mille a tutti, solo una cosa mi domando, ma ci voleva whitney nel 1926 per dimostrare questo? O la definizione di insieme connesso è recente? è una curiosità..
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