Teorema di Compattezza - Dimostrazione
Salute. Mi servirebbe una dimostrazione del seguente teorema:
Teorema di Compattezza: Una funzione continua manda compatti in compatti.
Ovvero se $f$ è una funzione continua e se $A$ è un insieme compatto, $f(A)$ è un insieme compatto. Da questo teorema si ottiene quello di Weierstrass come un corollario, atteso il fatto che ogni insieme compatto ammette massimo e minimo.
La dimostrazione che fa il mio libro non è facile, è molto astratta; utilizza anche l'assioma della scelta. Qualcuno può riportarmene una un po' più semplice?
Teorema di Compattezza: Una funzione continua manda compatti in compatti.
Ovvero se $f$ è una funzione continua e se $A$ è un insieme compatto, $f(A)$ è un insieme compatto. Da questo teorema si ottiene quello di Weierstrass come un corollario, atteso il fatto che ogni insieme compatto ammette massimo e minimo.
La dimostrazione che fa il mio libro non è facile, è molto astratta; utilizza anche l'assioma della scelta. Qualcuno può riportarmene una un po' più semplice?
Risposte
Salve a te, Seneca.
Be', non è che sia un teorema molto semplice, d'altra parte. E' abbastanza difficile, nell'ambito del programma di analisi 1.
Per cominciare, che definizione hai tu di compatto?
Se conosci quella che ho in mente io, allora per dimostrare il teorema puoi cominciare a considerare $(y_n)$, una successione di elementi di $f(A)$...
Be', non è che sia un teorema molto semplice, d'altra parte. E' abbastanza difficile, nell'ambito del programma di analisi 1.
Per cominciare, che definizione hai tu di compatto?
Se conosci quella che ho in mente io, allora per dimostrare il teorema puoi cominciare a considerare $(y_n)$, una successione di elementi di $f(A)$...
Grazie della risposta, Paolo.
Io so che un insieme compatto è un insieme chiuso e limitato.
Io so che un insieme compatto è un insieme chiuso e limitato.
Mah, dunque, la situazione è un po' più delicata.
Vediamo se riesco a spiegarmi.
Cominciamo con la
Definizione (1). Un sottoinsieme non vuoto $K$ di $RR$ si dice compatto per successioni se da ogni successione di elementi di $K$ si può estrarre una sottosuccessione convergente in $K$.
Si può dimostrare, (usando ovviamente il teorema di Bolzano-Weierstrass) che $K " compatto per successioni " iff " K chiuso e limitato"$.
Fin qui ci sei? Se conosci bene le successioni non dovresti aver trovato difficoltà fin qui.
Adesso però ti spiego un'altra cosa, un po' più difficile.
Definizione (2). Sia $K$ un sottoinsieme di $RR$. Prendiamo la famiglia $mathcal A = {A_alpha, alpha in J}$ di sottoinsiemi di $RR$, con $J$ insieme degli indici. Diciamo che $mathcal A$ costituisce un ricoprimento di $K$ se ogni elemento di $K$ appartiene ad almeno uno degli $A_alpha$. Inoltre, chiamiamo aperto un ricoprimento i cui elementi sono tutti insiemi aperti.
Mi segui? A livello metaforico, pensala così: devi dare il bianco nella tua stanza. Per non sporcare il pavimento ricopri il pavimento con fogli di giornale. Non ti importa se alcuni si sovrappongono, ti interessa solo che non restino buchi per terra.
Se mi passi l'esempio, possiamo dire che l'insieme dei fogli di giornale costituisce un ricoprimento del pavimento della tua stanza. (
)
A questo punto possiamo finalmente dire che cos'è un compatto.
Definizione (3). Un sottoinsieme $K$ di $RR$ di dice compatto se da ogni ricoprimento aperto di $K$ si può estrarre un sottoricoprimento finito di aperti.
Ora uno può finalmente far vedere che tutto torna con quanto dici tu. Vale infatti il seguente
Teorema (detto di Heine-Borel). Sia $K subset RR$. $K$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Capisci che mettendo insieme i pezzi, otteniamo che un sottoinsieme di $RR$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato se e solo è compatto per successioni. Sono tutte equivalenze. Chiaro?
Torniamo ora al tuo problema.
Praticamente, noi dobbiamo far vedere che vale il teorema di Weierstrass. Viste tutte le considerazioni di cui sopra, ciò che vuoi mostrare tu è lo stesso che dire questo, che secondo me è molto più semplice da dimostrare (non escludo comunque esistano altri approcci, ti dico solo quello che io ritengo più easy).
Proposizione. Sia $K$ un sottoinsieme di $RR$ e $f:K->RR$ una funzione continua. Se $K$ è compatto per successioni allora anche $f(K)$ è compatto per successioni.
Dimostrazione. Ti do l'idea. Prendi una successione di elementi di $f(K)$, sia essa $(y_n)$. Essendo $forall n in NN, " " y_n in f(K)$, hai che per ogni $n$ esistono degli * $x_n$ in $K$ tali che la loro immagine mediante la $f$ è $y_n$. Ma $K$ è compatto per successioni (=vale Bolzano Weierstrass), per cui...
Riesci ad andare avanti tu?
Fammi sapere.
Spero di non averti spaventato
. Tieni conto che comunque non è roba elementare, si fa in un corso di analisi all'università.
Take care
___________________________________________________
* Ecco perchè serve l'assioma della scelta.
Vediamo se riesco a spiegarmi.
Cominciamo con la
Definizione (1). Un sottoinsieme non vuoto $K$ di $RR$ si dice compatto per successioni se da ogni successione di elementi di $K$ si può estrarre una sottosuccessione convergente in $K$.
Si può dimostrare, (usando ovviamente il teorema di Bolzano-Weierstrass) che $K " compatto per successioni " iff " K chiuso e limitato"$.
Fin qui ci sei? Se conosci bene le successioni non dovresti aver trovato difficoltà fin qui.
Adesso però ti spiego un'altra cosa, un po' più difficile.
Definizione (2). Sia $K$ un sottoinsieme di $RR$. Prendiamo la famiglia $mathcal A = {A_alpha, alpha in J}$ di sottoinsiemi di $RR$, con $J$ insieme degli indici. Diciamo che $mathcal A$ costituisce un ricoprimento di $K$ se ogni elemento di $K$ appartiene ad almeno uno degli $A_alpha$. Inoltre, chiamiamo aperto un ricoprimento i cui elementi sono tutti insiemi aperti.
Mi segui? A livello metaforico, pensala così: devi dare il bianco nella tua stanza. Per non sporcare il pavimento ricopri il pavimento con fogli di giornale. Non ti importa se alcuni si sovrappongono, ti interessa solo che non restino buchi per terra.
Se mi passi l'esempio, possiamo dire che l'insieme dei fogli di giornale costituisce un ricoprimento del pavimento della tua stanza. (
)A questo punto possiamo finalmente dire che cos'è un compatto.
Definizione (3). Un sottoinsieme $K$ di $RR$ di dice compatto se da ogni ricoprimento aperto di $K$ si può estrarre un sottoricoprimento finito di aperti.
Ora uno può finalmente far vedere che tutto torna con quanto dici tu. Vale infatti il seguente
Teorema (detto di Heine-Borel). Sia $K subset RR$. $K$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Capisci che mettendo insieme i pezzi, otteniamo che un sottoinsieme di $RR$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato se e solo è compatto per successioni. Sono tutte equivalenze. Chiaro?
Torniamo ora al tuo problema.
Praticamente, noi dobbiamo far vedere che vale il teorema di Weierstrass. Viste tutte le considerazioni di cui sopra, ciò che vuoi mostrare tu è lo stesso che dire questo, che secondo me è molto più semplice da dimostrare (non escludo comunque esistano altri approcci, ti dico solo quello che io ritengo più easy).
Proposizione. Sia $K$ un sottoinsieme di $RR$ e $f:K->RR$ una funzione continua. Se $K$ è compatto per successioni allora anche $f(K)$ è compatto per successioni.
Dimostrazione. Ti do l'idea. Prendi una successione di elementi di $f(K)$, sia essa $(y_n)$. Essendo $forall n in NN, " " y_n in f(K)$, hai che per ogni $n$ esistono degli * $x_n$ in $K$ tali che la loro immagine mediante la $f$ è $y_n$. Ma $K$ è compatto per successioni (=vale Bolzano Weierstrass), per cui...
Riesci ad andare avanti tu?
Fammi sapere.
Spero di non averti spaventato
. Tieni conto che comunque non è roba elementare, si fa in un corso di analisi all'università. Take care
___________________________________________________
* Ecco perchè serve l'assioma della scelta.
Puntualizzo una cosa, non so quanto interessante.
Se $f:X to Y$ è continua e $X$ è compatto, dato un ricoprimento $(V_j)_j$ di $f(X)$ si ha che $(f^{-1}(V_j))_j$ è un ricoprimento di $X$, che quindi ammette un sottoricoprimento finito $f^{-1}(V_1),...,f^{-1}(V_n)$, e ${V_1,...,V_n}$ risulta essere un sottoricoprimento finito di $f(X)$.
Ma non è una dimostrazione molto pratica, se si parla di spazi metrici.
"Paolo90":Con questa definizione la dimostrazione è immediata.
Definizione (3). Un sottoinsieme $K$ di $RR$ di dice compatto se da ogni ricoprimento aperto di $K$ si può estrarre un sottoricoprimento finito di aperti.
Se $f:X to Y$ è continua e $X$ è compatto, dato un ricoprimento $(V_j)_j$ di $f(X)$ si ha che $(f^{-1}(V_j))_j$ è un ricoprimento di $X$, che quindi ammette un sottoricoprimento finito $f^{-1}(V_1),...,f^{-1}(V_n)$, e ${V_1,...,V_n}$ risulta essere un sottoricoprimento finito di $f(X)$.
Ma non è una dimostrazione molto pratica, se si parla di spazi metrici.
Sì, mi è abbastanza chiaro quello che scrivete. In realtà volevo evitare di tirare in ballo gli spazi metrici, per il momento, e limitarmi a dimostrare che: una funzione continua a valori reali trasforma insiemi chiusi e limitati in insiemi chiusi e limitati. Il mio libro tratta posteriormente il caso generale, parlando di spazi metrici compatti.
Grazie delle risposte e delle considerazioni su cui avrò modo di meditare.
Grazie delle risposte e delle considerazioni su cui avrò modo di meditare.
Fantastico il post di Paolo! Ma sei sicuro di essere solo al primo anno di università? E già scrivi così bene di topologia? Di questo passo, all'ultimo anno come minimo dimostri la congettura di Poincaré! 
Vabbé, tornando seri (ma i complimenti a Paolo sono sinceri): se volessimo mostrare che una funzione $f:A \sub RR \to RR$ continua manda chiusi e limitati in chiusi e limitati, direi che avremmo qualche difficoltà tecnica. Faccio osservare, infatti, che una funzione continua non ha obbligo di mandare chiusi in chiusi né tantomeno di mandare limitati in limitati, esempi:
$\forall x \in (-pi/2, pi/2),\ f(x)=tan x$ è una funzione continua che manda l'insieme limitato $(-pi/2, pi/2)$ in $(-\infty, \infty)$;
$\forall x \in RR,\ f(x)=arctan(x)$ è una funzione che manda l'insieme chiuso $[0, +\infty)$ in $[0, 1)$.
Naturalmente nessuno dei due insiemi considerati era chiuso e limitato, perché in quel caso sarebbe stato compatto, tutta un'altra musica. Questo per dire che usare la proprietà di Heine-Borel per definire la compattezza in $RR$ non è una grande idea, porta confusione: infatti mentre la compattezza è conservata dalle applicazioni continue, le proprietà di "essere chiuso" e "essere limitato", prese da sole, no.
Vabbé, tornando seri (ma i complimenti a Paolo sono sinceri): se volessimo mostrare che una funzione $f:A \sub RR \to RR$ continua manda chiusi e limitati in chiusi e limitati, direi che avremmo qualche difficoltà tecnica. Faccio osservare, infatti, che una funzione continua non ha obbligo di mandare chiusi in chiusi né tantomeno di mandare limitati in limitati, esempi:
$\forall x \in (-pi/2, pi/2),\ f(x)=tan x$ è una funzione continua che manda l'insieme limitato $(-pi/2, pi/2)$ in $(-\infty, \infty)$;
$\forall x \in RR,\ f(x)=arctan(x)$ è una funzione che manda l'insieme chiuso $[0, +\infty)$ in $[0, 1)$.
Naturalmente nessuno dei due insiemi considerati era chiuso e limitato, perché in quel caso sarebbe stato compatto, tutta un'altra musica. Questo per dire che usare la proprietà di Heine-Borel per definire la compattezza in $RR$ non è una grande idea, porta confusione: infatti mentre la compattezza è conservata dalle applicazioni continue, le proprietà di "essere chiuso" e "essere limitato", prese da sole, no.
"dissonance":
Fantastico il post di Paolo! Ma sei sicuro di essere solo al primo anno di università? E già scrivi così bene di topologia? Di questo passo, all'ultimo anno come minimo dimostri la congettura di Poincaré!
Troppo buono, dissonance. Ti ringrazio per i tuo complimenti, sono lusingato, davvero.
[size=75]Ci tengo solo a precisare che non ho mai studiato topologia nella mia vita
. Quanto ho scritto è frutto di una lettura approfondita di un capitolo del mio libro di analisi I, capitolo che a lezione avevamo saltato. Però mi incuriosiva parecchio e così me lo sono studiato lo stesso . [/size]
Grazie comunque a dissonance e a Martino per le loro puntualizzazioni.
"Paolo90":
[size=75]Ci tengo solo a precisare che non ho mai studiato topologia nella mia vita
[/size]
Forse sbaglio sezione ma ci tengo lo stesso a nominare un ottimo libro di topologia che mi ha fatto capire bene tutto quello che riguarda la topologia con un linguaggio semplicissimo.Inoltre il libro è molto completo!
parlo del libro "Topologia" di Seymour Lipschutz - Etas libri (collana Schaum).
Consiglio gli "iniziati" di topologia di leggerlo !
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