Teorema di Cesaro sulla media aritmetica
Buon pomeriggio... mi potreste aiutare a capire questa dimostrazione? Non mi sono chiare le righe che iniziano con il simbolo (?)
$lim_n a_n = l Rightarrow lim_n (a_1 + ... + a_n)/n = l$
DIMOSTRAZIONE:
fisso $varepsilon >0$
$exists k in N : forall n >= k: |a_n - l|< varepsilon$
Considero: $|(a_1 +...+a_n)/n -l| = |(a_1 +...+a_(k-1))/n + (a_k +...+a_n)/n -l| <= (|a_1 -l|)/n +...+(|a_(k-1)-l|)/n + |(a_k -l +...+a_n -l)/n|$
(?) Ora, afferma che $exists nu_h in N: forall n>= nu_h : (|a_h -l|)/n < varepsilon; h = 1,...,k-1$
(?) E quindi: $(|a_1 -l|)/n +...+(|a_(k-1)-l|)/n + |(a_k -l +...+a_n -l)/n| <= (k-1)varepsilon + (n-k+1)/n varepsilon$
(?) Ora, afferma che $exists nu_j in N: forall n>= nu_j : (n-k+1)/n < varepsilon$
(?) E quindi: $(k-1)varepsilon + (n-k+1)/n varepsilon <= (k-1)varepsilon + varepsilon^2$, con $n>= max{nu_j, nu_1,..., nu_h}$
$lim_n a_n = l Rightarrow lim_n (a_1 + ... + a_n)/n = l$
DIMOSTRAZIONE:
fisso $varepsilon >0$
$exists k in N : forall n >= k: |a_n - l|< varepsilon$
Considero: $|(a_1 +...+a_n)/n -l| = |(a_1 +...+a_(k-1))/n + (a_k +...+a_n)/n -l| <= (|a_1 -l|)/n +...+(|a_(k-1)-l|)/n + |(a_k -l +...+a_n -l)/n|$
(?) Ora, afferma che $exists nu_h in N: forall n>= nu_h : (|a_h -l|)/n < varepsilon; h = 1,...,k-1$
(?) E quindi: $(|a_1 -l|)/n +...+(|a_(k-1)-l|)/n + |(a_k -l +...+a_n -l)/n| <= (k-1)varepsilon + (n-k+1)/n varepsilon$
(?) Ora, afferma che $exists nu_j in N: forall n>= nu_j : (n-k+1)/n < varepsilon$
(?) E quindi: $(k-1)varepsilon + (n-k+1)/n varepsilon <= (k-1)varepsilon + varepsilon^2$, con $n>= max{nu_j, nu_1,..., nu_h}$
Risposte
Partiamo dal primo: \(|a_h-l|\) è un numero. Se lo divido per un \(n\) abbastanza grande, otterrò un numero più piccolo di un \(\varepsilon\) fissato.
Ok. Ci sono per quanto riguarda$|a_h -l|$... come ha poi maggiorato anche $|(a_k -l + ... + a_n -l)/n|$? Per definizione di limite (essendo $|a_n -l|< varepsilon$)?
"alfiere15":
$exists k in N : forall n >= k: |a_n - l|< varepsilon$
Se sono tutti più piccoli, la loro media...
In pratica, essendo $|a_n -l|< varepsilon$, io ho che quel valore assoluto è minore di $((n-k+1)varepsilon)/n $ e poi, per la stessa motivazione di prima, essendo numeri, anche $(n-k+1)/n$ è minore di epsilon... Giusto?
Per il terzo punto non mi è chiaro chi sia \(j\)...
Quella $j$ è per indicare un nuovo $nu$, diverso da quelli considerati prima...
Questo l'avevo capito, ma quanti sono questi \(j\)? Che valori assumono? A cosa sono collegati?
Sì, hai ragione... mi sono espresso male. Ho scritto io $nu_j$, ma sul quaderno ho $nu$ segnato... in pratica, $j$ non è un indice, non sta variando...
Quindi il terzo punto interrogativo, scritto correttamente, cosa risulta?
$exists bar(nu) in N : forall n in N, n>= bar(nu) : (n-k+1)/n < varepsilon$
Curioso, su due piedi non mi sembra vera questa cosa...
Non è per la stessa motivazione del primo punto? Perché $(n-k+1)/n$ è un numero..
Il primo punto funzionava perché lì avevi un numero indipendente da \(n\) diviso per \(n\); in questo caso c'è \(n\) anche al numeratore, ed il limite di quella frazione è \(1\).
Ed il fatto che quella frazione sia moltiplicata per $varepsilon$ può esserci di aiuto?
È moltiplicata per \(\varepsilon\) da un'altra parte...
Quindi è sbagliata la dimostrazione che mi è stata data a lezione?
Diciamo che messa così io non la capisco, anzi mi sembra che non funzioni. È meglio se controlli di averla copiata correttamente o chiedi al professore.
Alternativamente puoi provare a fare tu la dimostrazione. L'idea è che se il limite di una successione è \(l\) allora ci sono infiniti elementi "vicinissimi" ad \(l\) che trascinano la media della successione al valore \(l\).
Alternativamente puoi provare a fare tu la dimostrazione. L'idea è che se il limite di una successione è \(l\) allora ci sono infiniti elementi "vicinissimi" ad \(l\) che trascinano la media della successione al valore \(l\).
Sinceramente, al momento non saprei come impostarla...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo