Teorema di Cauchy per equazioni lineari di primo ordine
Salve a tutti! Non riesco a capire un passaggio della dimostrazione del Teorema di Cauchy per le equazioni lineari di primo ordine che riporta il Marcellini Sbordone. Le domande sui passaggi saranno in rosso.
Teorema:
Sia \(\displaystyle x_0 \) un punto di intervallo dove \(\displaystyle a(x), b(x) \) sono continue. Per ogni numero reale \(\displaystyle y_0 \) esiste ed è unica la soluzione del problema di Cauchy:
\(\displaystyle \begin{cases} y'=a(x)y+b(x) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases} \)
Dimostrazione:
Per provare che tra le infinite soluzioni esista una sola con la proprietà \(\displaystyle y(x_0) = y_0 \), si sceglie \(\displaystyle A(x) \) primitiva di \(\displaystyle a(x) \), in modo che \(\displaystyle A(x_0) = 0 \), ovvero:
\(\displaystyle A(x)=\int_{x_0}^x a(t)dt \)
Inoltre scriviamo la formula di rappresentazione delle soluzioni: \(\displaystyle y(x) = e^{A(x)}\int e^{-A(x)}b(x)dx\), in modo da mettere in luce la costante additiva che proviene dall'integrazione indefinita:
\(\displaystyle y(x)=e^{A(x)}( c+\int_{x_0}^x e^{-A(t)}b(t)dt) \)
Dato che \(\displaystyle A(x_0)=0 \) risulta che \(\displaystyle y(x_0)=e^0(c+0)=c \), quindi esiste una ed una sola costante \(\displaystyle c \) per cui \(\displaystyle c=y_0=y(x_0) \)
Grazie mille per la pazienza
Teorema:
Sia \(\displaystyle x_0 \) un punto di intervallo dove \(\displaystyle a(x), b(x) \) sono continue. Per ogni numero reale \(\displaystyle y_0 \) esiste ed è unica la soluzione del problema di Cauchy:
\(\displaystyle \begin{cases} y'=a(x)y+b(x) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases} \)
Dimostrazione:
Per provare che tra le infinite soluzioni esista una sola con la proprietà \(\displaystyle y(x_0) = y_0 \), si sceglie \(\displaystyle A(x) \) primitiva di \(\displaystyle a(x) \), in modo che \(\displaystyle A(x_0) = 0 \), ovvero:
\(\displaystyle A(x)=\int_{x_0}^x a(t)dt \)
(Perchè proprio \(\displaystyle A(x_0)=0 \)?)
Inoltre scriviamo la formula di rappresentazione delle soluzioni: \(\displaystyle y(x) = e^{A(x)}\int e^{-A(x)}b(x)dx\), in modo da mettere in luce la costante additiva che proviene dall'integrazione indefinita:
\(\displaystyle y(x)=e^{A(x)}( c+\int_{x_0}^x e^{-A(t)}b(t)dt) \)
(Qui non ho capito assolutamente come si arriva a questa formula)
Dato che \(\displaystyle A(x_0)=0 \) risulta che \(\displaystyle y(x_0)=e^0(c+0)=c \), quindi esiste una ed una sola costante \(\displaystyle c \) per cui \(\displaystyle c=y_0=y(x_0) \)
Grazie mille per la pazienza
Risposte
Prova a vederlo qui:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Linear.aspx
ti si dovrebbe accendere qualche lampadina.
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Linear.aspx
ti si dovrebbe accendere qualche lampadina.
Purtroppo non si è accesso nulla
Riarrangiatela così.
La EDO si riscrive:
\[
y^\prime (x)-a(x)y(x)=b(x)\; ,
\]
e, scelta una qualsiasi primitiva $A$ di $a$ (che sceglierai dopo in modo da semplificare i conti), puoi scrivere:
\[
e^{-A(x)}y^\prime (x)-a(x)e^{-A(x)}y(x)=e^{-A(x)}b(x)\quad \Leftrightarrow\quad \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[ e^{-A(x)}y(x)\right]=e^{-A(x)}b(x)\;.
\]
L'uguaglianza precedente tra funzioni continue si conserva se si passa alle funzioni integrali di ambo i membri, a patto di scegliere lo stesso punto iniziale. Scegli come punto iniziale $x_0$ (perché in tale punto sai quanto vale $y(x)$) ed ottieni:
\[
e^{-A(x)} y(x) - e^{-A(x_0)} y(x_0) = \int_{x_0}^{x} e^{-A(t)} b(t)\ \text{d} t\quad \Leftrightarrow\quad y(x)=e^{A(x)-A(x_0)}y_0+e^{A(x)}\int_{x_0}^{x} e^{-A(t)} b(t)\ \text{d} t
\]
e si vede che per semplificare la formula conviene prendere $A$ in modo che $A(x_0)=0$, cioè $A(x)=\int_{x_0}^{x} a(t)\ \text{d} t$; con tale scelta ritrovi la formula del testo.
La EDO si riscrive:
\[
y^\prime (x)-a(x)y(x)=b(x)\; ,
\]
e, scelta una qualsiasi primitiva $A$ di $a$ (che sceglierai dopo in modo da semplificare i conti), puoi scrivere:
\[
e^{-A(x)}y^\prime (x)-a(x)e^{-A(x)}y(x)=e^{-A(x)}b(x)\quad \Leftrightarrow\quad \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[ e^{-A(x)}y(x)\right]=e^{-A(x)}b(x)\;.
\]
L'uguaglianza precedente tra funzioni continue si conserva se si passa alle funzioni integrali di ambo i membri, a patto di scegliere lo stesso punto iniziale. Scegli come punto iniziale $x_0$ (perché in tale punto sai quanto vale $y(x)$) ed ottieni:
\[
e^{-A(x)} y(x) - e^{-A(x_0)} y(x_0) = \int_{x_0}^{x} e^{-A(t)} b(t)\ \text{d} t\quad \Leftrightarrow\quad y(x)=e^{A(x)-A(x_0)}y_0+e^{A(x)}\int_{x_0}^{x} e^{-A(t)} b(t)\ \text{d} t
\]
e si vede che per semplificare la formula conviene prendere $A$ in modo che $A(x_0)=0$, cioè $A(x)=\int_{x_0}^{x} a(t)\ \text{d} t$; con tale scelta ritrovi la formula del testo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo