Teorema di Cauchy (Funzioni Analitiche)
Salve ragazzi.
Ho un problema con il teorema di Cauchy. In pratica non riesco a capire l'ultimo passaggio finale.
Ma partiamo dall'inizio:
Se un aperto omega è limitato e ha come bordo una o più curve chiuse regolari così definite:
Gamma= Gamma1UGamma2U...UGamman
e se la funzione di variabile complessa è analitica in ogni punto della chiusura di omega si ha:
l'integrale curvilineo lungo la frontiera gamma di f(z)=0
allora per dimostrare il teorema parto dalla definizione di integrale di linea nel campo complesso.
Uso le seguenti notazioni:
u(x,y)=Ref(z) J=unità immaginaria
v(x,y)=Imf(z)
L'integrale di linea del campo complesso è uguale a
integrale lungo la frontiera gamma di u(x,y)dx-v(x,y)dy +Jintegrale di linea lungo la curva gamma v(x,y)dx+u(x,y)dy
Adesso se omega è semplicemente connesso (ossia il bordo è costituito da un'unica curva chiusa) applicando il teorema di Gauss Green si ha:
integrale doppio di (-du parziale in dy) dxdy (-dv parziale in dx) dxdy
integrale doppio di (-dv parziale in dy) dxdy (du parziale in dx) dxdy
Per le condizioni di Cauchy Reinmann gli integrandi sono nulli e dunque il teorema è dimostrato.
Quest'ultimo passaggio cruciale non l'ho capito!!!!
Ho un problema con il teorema di Cauchy. In pratica non riesco a capire l'ultimo passaggio finale.
Ma partiamo dall'inizio:
Se un aperto omega è limitato e ha come bordo una o più curve chiuse regolari così definite:
Gamma= Gamma1UGamma2U...UGamman
e se la funzione di variabile complessa è analitica in ogni punto della chiusura di omega si ha:
l'integrale curvilineo lungo la frontiera gamma di f(z)=0
allora per dimostrare il teorema parto dalla definizione di integrale di linea nel campo complesso.
Uso le seguenti notazioni:
u(x,y)=Ref(z) J=unità immaginaria
v(x,y)=Imf(z)
L'integrale di linea del campo complesso è uguale a
integrale lungo la frontiera gamma di u(x,y)dx-v(x,y)dy +Jintegrale di linea lungo la curva gamma v(x,y)dx+u(x,y)dy
Adesso se omega è semplicemente connesso (ossia il bordo è costituito da un'unica curva chiusa) applicando il teorema di Gauss Green si ha:
integrale doppio di (-du parziale in dy) dxdy (-dv parziale in dx) dxdy
integrale doppio di (-dv parziale in dy) dxdy (du parziale in dx) dxdy
Per le condizioni di Cauchy Reinmann gli integrandi sono nulli e dunque il teorema è dimostrato.
Quest'ultimo passaggio cruciale non l'ho capito!!!!
Risposte
Mi limito a postare le formule.Certamente qualche
altro (in particolar modo luca77) potra' essere
piu' rigoroso.
Essendo la funzione analitica per ipotesi,risulta:
[img]http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/marco.bmp[/img]
altro (in particolar modo luca77) potra' essere
piu' rigoroso.
Essendo la funzione analitica per ipotesi,risulta:
[img]http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/marco.bmp[/img]
Karl ti ringrazio!!!
Non avevo fatto caso al secondo modo di scrivere le condizioni di Cauchy Riemann. Adesso i conti tornano:---)))
Non avevo fatto caso al secondo modo di scrivere le condizioni di Cauchy Riemann. Adesso i conti tornano:---)))
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