Teorema di cauchy, esistenza e unicita locale.

[ferretti1]

salve, vorrei un chiarimento sull'applicabilita del teorema di cauchy per un' equazione differenziale $y'(x)=F(x,y)$ e un punto $(xo, yo)$
posso dire che il teorema vale se nel punto dato la derivata parziale $(del(F(x,y)))/(dely)$ esiste??
e piu in generale che il teorema vale, quindi ho una soluzione unica in tutti i punti dove $(del(F(x,y)))/(del y)$ esiste?

Le condizioni della lipchitzianita ecc ecc le so gia però praticamente non è molto semplice dimostrare la lipchitzianita della funzione F(x,y), e ho visto dagli esercizi svolti in classe che la professoressa dice che vale cauchy quanto la funzione $F(x,y)$ è $C^1$.
grazie!

[Rigel1]

In generale non basta l'esistenza di \(D_y F\) in un punto per garantire la locale lipschitzianità rispetto a \(y\) in un intorno di quel punto.
Basta comunque che \(D_y F\) esista almeno in un aperto contenente il punto in questione e sia localmente limitata (cosa che avviene, ad esempio, quando è continua).

[ferretti1]

giusto, mi ero dimenticato di aggiungere la condizione della continuità, colpa degli appunti presi male! Perfetto grazie mille del chiarimento!