Teorema di cauchy di esistenza e unicità locale

[ludwigZero]

Ho una domanda riguardo le ipotesi del teorema di cauchy.
Ho una equazione differenziale del primo ordine, in forma normale del tipo:
$y'=f(x,y)$

dove fissati $x_0$ di $RR$ e $y_0$ di $RR^2$ la funzione è definita in un intorno di $IxJ$ del punto $(x_0, y_0)$ di
$RR$ x $RR^2$, perchè la funzione $f$ ha valori in $RR^n$ ?
(ingenuamente: forse perchè $RR^n$ contiene $RR$?

[dissonance]

Per \(x\) fissato, che cos'è \(y'(x)\)? Se vedi bene tra le ipotesi ti accorgi che è un vettore di \(\mathbb{R}^n\). Ora, se il membro sinistro di

\[y'=f(x, y))\]

è un vettore pure il membro destro deve essere un vettore, chiaramente.