Teorema di Cauchy
Un libro su cui sto studiando (Arfken: Mathematical Methods for Physicists), deriva una formula usando questo risultato (p. 392):
[tex]$\int_{0}^{-i\infty} \frac{e^{-xu}}{1+iu}du = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-xu}}{1+iu}du,$[/tex]
dove il cambio dei limiti nell'integrale e' giustificato col teorema di Cauchy. Conosco il teorema di Cauchy, ma non mi e' chiaro perche' giustifica questo passaggio. Qualcuno mi puo' aiutare a capire?
[tex]$\int_{0}^{-i\infty} \frac{e^{-xu}}{1+iu}du = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-xu}}{1+iu}du,$[/tex]
dove il cambio dei limiti nell'integrale e' giustificato col teorema di Cauchy. Conosco il teorema di Cauchy, ma non mi e' chiaro perche' giustifica questo passaggio. Qualcuno mi puo' aiutare a capire?
Risposte
Benvenuto! Metti un simbolo del dollaro dopo il tag tex per mettere le formule evidenziate in formato "display", così sono più grandi e leggibili. Per stavolta mi sono permesso di modificare io il tuo post.
Quanto al teorema di Cauchy, secondo me si sta sfruttando il fatto che la funzione integranda non ha singolarità nel quarto quadrante ($x>=0, y<=0$) e verifica delle buone condizioni di decadimento all'infinito. Quindi, prendendo un circuito come questo:
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=-5; ymax=0; axes(); line([0,0], [0, -4]); arc([0, -4], [4, 0], 4); line([4, 0], [0, 0]);[/asvg]
hai una circuitazione nulla. Quando fai tendere il raggio ad infinito il contributo derivante dall'arco di circonferenza tende a zero e da qui ricavi l'identità sfruttata dal tuo libro.
Quanto al teorema di Cauchy, secondo me si sta sfruttando il fatto che la funzione integranda non ha singolarità nel quarto quadrante ($x>=0, y<=0$) e verifica delle buone condizioni di decadimento all'infinito. Quindi, prendendo un circuito come questo:
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=-5; ymax=0; axes(); line([0,0], [0, -4]); arc([0, -4], [4, 0], 4); line([4, 0], [0, 0]);[/asvg]
hai una circuitazione nulla. Quando fai tendere il raggio ad infinito il contributo derivante dall'arco di circonferenza tende a zero e da qui ricavi l'identità sfruttata dal tuo libro.
Grazie mille, anche del consiglio per il LaTeX!
Prego, ma dimostra per bene quanto detto, specialmente il fatto che l'integrale sull'arco di circonferenza tende a zero quando il raggio tende ad infinito, perché io non l'ho fatto.
Una domanda forse stupida: supponiamo che invece dell'integrale originarle io abbia
[tex]$\int_{0}^{\infty} e^{ixu}\frac{(1+u^2)^{-c}}{1+iu}du$[/tex]
dove [tex]$0
In generale, come ci si deve comportare quando deformando il contorno di un integrale si "tocca" un punto di diramazione?
[tex]$\int_{0}^{\infty} e^{ixu}\frac{(1+u^2)^{-c}}{1+iu}du$[/tex]
dove [tex]$0
In generale, come ci si deve comportare quando deformando il contorno di un integrale si "tocca" un punto di diramazione?
Ti dico subito che non lo so. Non ho idea di cosa succeda quando un contorno passa su un punto "infiammabile" (singolarità, diramazioni ...).
Se si passa o si "tocca" un polo, basta applicare il teorema dei residui, pero' non mi e' chiaro come comportarsi con un punto di diramazione.
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