Teorema di Cauchy
Buongiorni a tutti ragazzi!! 
Ho studiato il teorema di Cauchy e devo dire che dal punto di vista algebrico la dimostrazione mi è abbastanza chiara! Ora io, volendo inquadrare meglio la situazione, ho cercato di interpretarlo graficamente, ma non so proprio come procedere, vorrei capirlo sostanzialmente, cioè vorrei avere davanti un grafico che lo rappresenti, sempre che esista. Cercando su internet ho trovato poco e niente, mi sono chiesta se questa formula va semplicemente "accettata" perché molti dicono che non è poi così essenziale capirla data la sua astrattezza..
voi che mi dite??
Ho studiato il teorema di Cauchy e devo dire che dal punto di vista algebrico la dimostrazione mi è abbastanza chiara! Ora io, volendo inquadrare meglio la situazione, ho cercato di interpretarlo graficamente, ma non so proprio come procedere, vorrei capirlo sostanzialmente, cioè vorrei avere davanti un grafico che lo rappresenti, sempre che esista. Cercando su internet ho trovato poco e niente, mi sono chiesta se questa formula va semplicemente "accettata" perché molti dicono che non è poi così essenziale capirla data la sua astrattezza..
voi che mi dite??
Risposte
Quale teorema di Cauchy?
Ce ne sono millemila...
Ce ne sono millemila...
Si hai ragione, preciso:
Siano $ f:[a,b] rarr R $ e $ g:[a,b] rarr R $ due funzioni.
Supponendo che $ f $ e $ g $ siano continue in $ [a,b] $ , e che $ f $ e $ g $ sono derivabili in $ (a,b) $ , allora esiste almeno un valore $ c in (a,b) $ tale che $ (f(b)-f(a)) g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c) $ .
Se inoltre supponiamo che $ g'(x) != 0 $ per ogni $ x in (a,b) $ , allora abbiamo anche che $ g(b) != g(a) $ e dividendo otteniamo $ (f(b)- f(a)) / (g(b)-g(a)) = (f'(c))/(g'(c)) $. Mi serviva un'interpretazione geometrica, grazie.
Siano $ f:[a,b] rarr R $ e $ g:[a,b] rarr R $ due funzioni.
Supponendo che $ f $ e $ g $ siano continue in $ [a,b] $ , e che $ f $ e $ g $ sono derivabili in $ (a,b) $ , allora esiste almeno un valore $ c in (a,b) $ tale che $ (f(b)-f(a)) g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c) $ .
Se inoltre supponiamo che $ g'(x) != 0 $ per ogni $ x in (a,b) $ , allora abbiamo anche che $ g(b) != g(a) $ e dividendo otteniamo $ (f(b)- f(a)) / (g(b)-g(a)) = (f'(c))/(g'(c)) $. Mi serviva un'interpretazione geometrica, grazie.
Una interpretazione geometrica c'è, ma probabilmente non hai ancora gli strumenti adatti a comprenderla a fondo... Ad ogni modo, la scrivo qui sotto e ti invito a paragonarla (per comprenderla) all'interpretazione geometrica del teorema di Lagrange.
*
Se \(f,g\) sono come nell'enunciato, la funzione vettoriale:
\[
\phi : [a,b]\ni t\mapsto \big( f(t),g(t) \big)\in \mathbb{R}^2
\]
descrive una curva del piano[nota]Per fare un esempio, se \(f(x):=x\) e \(g(x):=x^3\) per \(x\in [0,2]\), allora la funzione \(\phi (t):=(t,t^2)\) descrive l'arco della parabola di equazione \(y=x^2\) dal punto \((0,0)\) al punto \((2,4)\).[/nota], la quale è dotata di vettore tangente in ogni suo punto. Se \(c\in ]a,b[\), si dimostra che il vettore tangente alla curva nel punto \(\phi(c)\) è quello dato da:
\[
\phi^\prime (c) = \big( f^\prime (c),g^\prime (c)\big)\; ;
\]
in tal caso, la retta \(r_c\) per il punto \(\phi(c)\) che ha equazione cartesiana:
\[
r_c:\ g^\prime (c)\ (x-f(c)) - f^\prime (c)\ (y-g(c)) = 0
\]
è la retta tangente alla curva in \(\phi(c)\).
*
D'altra parte, la retta \(s_{a,b}\) secante la curva nei suoi estremi, cioé nei punti \(\phi (a)=(f(a),g(a))\) e \(\phi(b)=(f(b),g(b))\), ha equazione cartesiana:
\[
s_{a,b}:\ \big( g(b)-g(a)\big)\ (x-f(a)) - \big( f(b)-f(a)\big)\ (y-g(a)) =0
\]
*
La formula di Cauchy:
\[
\big(f(b)-f(a)\big)\ g^\prime (c) = \big(g(b)-g(a)\big)\ f^\prime (c)
\]
ti sta dicendo che la retta tangente \(r_c\) è parallela alla retta secante \(s_{a,b}\).
*
Vediamo perché.
Ricorda che, quando hai due rette in forma implicita \(\alpha x+\beta y=\gamma\) e \(\nu x+\mu y = \omega\), esse risultano parallele solo se i due vettori \((\alpha ,\beta)\) e \((\nu ,\mu)\) sono proporzionali, i.e. se esiste una costante non nulla \(k\) tale che:
\[
(\alpha ,\beta) =k\ (\nu ,\mu) \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases} \alpha =k\nu\\ \beta =k\mu\; ;\end{cases}
\]
moltiplicando la prima uguaglianza per \(\mu\) e la seconda per \(\nu\) ottieni:
\[
\begin{cases} \alpha\ \mu =k\nu\ \mu\\ \beta\ \nu =k\mu\ \nu\end{cases}
\]
e da ciò segue immediatamente che le due rette \(\alpha x+\beta y=\gamma\) e \(\nu x+\mu y = \omega\) sono parallele se e solo se risulta:
\[\tag{*}
\alpha\ \mu = \beta\ \nu\; .
\]
Sostituendo \(\alpha = g^\prime (c)\), \(\beta=-f^\prime (c)\), \(\nu = g(b)-g(a)\) e \(\mu =-(f(b)-f(a))\) nella (*) ottieni proprio la formula di Cauchy:
\[
\big(f(b)-f(a)\big)\ g^\prime (c) = \big(g(b)-g(a)\big)\ f^\prime (c)
\]
e perciò \(r_c\) è parallela a \(s_{a,b}\).
*
Se \(f,g\) sono come nell'enunciato, la funzione vettoriale:
\[
\phi : [a,b]\ni t\mapsto \big( f(t),g(t) \big)\in \mathbb{R}^2
\]
descrive una curva del piano[nota]Per fare un esempio, se \(f(x):=x\) e \(g(x):=x^3\) per \(x\in [0,2]\), allora la funzione \(\phi (t):=(t,t^2)\) descrive l'arco della parabola di equazione \(y=x^2\) dal punto \((0,0)\) al punto \((2,4)\).[/nota], la quale è dotata di vettore tangente in ogni suo punto. Se \(c\in ]a,b[\), si dimostra che il vettore tangente alla curva nel punto \(\phi(c)\) è quello dato da:
\[
\phi^\prime (c) = \big( f^\prime (c),g^\prime (c)\big)\; ;
\]
in tal caso, la retta \(r_c\) per il punto \(\phi(c)\) che ha equazione cartesiana:
\[
r_c:\ g^\prime (c)\ (x-f(c)) - f^\prime (c)\ (y-g(c)) = 0
\]
è la retta tangente alla curva in \(\phi(c)\).
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D'altra parte, la retta \(s_{a,b}\) secante la curva nei suoi estremi, cioé nei punti \(\phi (a)=(f(a),g(a))\) e \(\phi(b)=(f(b),g(b))\), ha equazione cartesiana:
\[
s_{a,b}:\ \big( g(b)-g(a)\big)\ (x-f(a)) - \big( f(b)-f(a)\big)\ (y-g(a)) =0
\]
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La formula di Cauchy:
\[
\big(f(b)-f(a)\big)\ g^\prime (c) = \big(g(b)-g(a)\big)\ f^\prime (c)
\]
ti sta dicendo che la retta tangente \(r_c\) è parallela alla retta secante \(s_{a,b}\).
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Vediamo perché.
Ricorda che, quando hai due rette in forma implicita \(\alpha x+\beta y=\gamma\) e \(\nu x+\mu y = \omega\), esse risultano parallele solo se i due vettori \((\alpha ,\beta)\) e \((\nu ,\mu)\) sono proporzionali, i.e. se esiste una costante non nulla \(k\) tale che:
\[
(\alpha ,\beta) =k\ (\nu ,\mu) \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases} \alpha =k\nu\\ \beta =k\mu\; ;\end{cases}
\]
moltiplicando la prima uguaglianza per \(\mu\) e la seconda per \(\nu\) ottieni:
\[
\begin{cases} \alpha\ \mu =k\nu\ \mu\\ \beta\ \nu =k\mu\ \nu\end{cases}
\]
e da ciò segue immediatamente che le due rette \(\alpha x+\beta y=\gamma\) e \(\nu x+\mu y = \omega\) sono parallele se e solo se risulta:
\[\tag{*}
\alpha\ \mu = \beta\ \nu\; .
\]
Sostituendo \(\alpha = g^\prime (c)\), \(\beta=-f^\prime (c)\), \(\nu = g(b)-g(a)\) e \(\mu =-(f(b)-f(a))\) nella (*) ottieni proprio la formula di Cauchy:
\[
\big(f(b)-f(a)\big)\ g^\prime (c) = \big(g(b)-g(a)\big)\ f^\prime (c)
\]
e perciò \(r_c\) è parallela a \(s_{a,b}\).
Grazie per la pazienza, ci ho ragionato su, devo dire che non è particolarmente semplice ahah però servendomi della tua spiegazione tornerò a ragionarci in un futuro spero prossimo, grazie ancora
però servendomi della tua spiegazione tornerò a ragionarci in un futuro spero prossimo, grazie ancora
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