Teorema di Cantor

[dix93]

ragazzi sicuramente mi è sfuggito qualche cosa ma non capisco il teorema di Cantor, che dice:
Se una funzione \(\displaystyle f(x) \) è continua in un intervallo chiuso \(\displaystyle [a,b] \) allora questa è continua uniforme in \(\displaystyle [a,b] \).

Ecco... ma quello che non mi capacito ad immaginare è: come fa ad esempio la funzione \( y=x^{2} \) che è continua ma non uniformemente continua in \(\displaystyle R \), ad essere uniformemente continua in ogni suo intervallo chiuso \(\displaystyle [a,b] \)?

in pratica non riesco ad immaginare graficamente il teorema...
Grazie per le eventuali risposte

[Rigel1]

Ti faccio io un'altra domanda:
come fa la funzione \(f(x) = x^2\) ad essere limitata su ogni intervallo compatto \([a,b]\) e a non essere limitata su tutto \(\mathbb{R}\)?

[dix93]

continuo a non capire...
come mi sono immaginato io il teorema di Cantor prevede che il $\delta$ dipenda solo da $\epsilon$, ora anche se consideriamo un compatto di \(\displaystyle R \) per la funzione \(\displaystyle y=x^{2} \), $\delta$ non continua a dipendere ancora da \(\displaystyle x_{0} \)? quindi tecnicamente anche se è continua in \(\displaystyle [a,b] \) non dovrebbe essere uniforme..
caspita, proprio non ci arrivo!

[Rigel1]

Nell'esempio da te proposto, fissato \(\epsilon >0 \) puoi calcolare esplicitamente il \(\delta = \delta(\epsilon, x)\) che compare nella definizione di continuità. Vedi un po' come dipende da \(x\) (in particolare, cosa succede quando \(x\to \infty\)).
Per avere uniforme continuità devi essere in grado di trovare un \(\delta_0 > 0\) tale che \(\delta(\epsilon, x) \geq \delta_0\) per ogni \(x\) nel dominio (questa cosa non è completamente corretta ma rende l'idea).