Teorema di Bolzano Weistrass (dimostrazioni con rettangoli chiusi)
Salve a tutti,
so bene che internet è pieno di dimostrazioni di BW, ma quella che mi si richiede non riesco a trovarla.
Sui miei appunti è poco chiaro e il libro sfrutta per la dimostrazione teoremi che negli appunti vengono dimostrati con BW (cioè in pratica A è vero perchè B è vero e B è vero perchè A è vero
)
Teo:
Sia A in Rn un insieme infinito e limitato ---> A' $ != O/ $
Dim:
Se A è limitato possiamo dire che è un sottoinsieme di un rettangolo chiuso R1. Dividendo a sua volta questo rettangolo in altri rettangoli la loro intersezione è sempre $ != O/ $ ........
Dunque, qui i miei appunti si fermano.
Per maggiore chiarezza dirò che i rettangoli chiusi sono stati definiti come prodotto cartesiano di intervalli chiusi e che è stato dimostrato che l'intersezione di infiniti rettangoli chiusi è diversa da zero.
Tuttavia questi sono i miei problemi:
1) Come avrete notato la dimostrazione si ferma prima di dire che in quella intersezione diversa da zero c'è proprio un punto di accumulazione.
2) non è un po' "stupida" questa dimostrazione? Inscatolo l'insieme A dentro un rettangolo e poi lo tagliuzzo finchè non mi resta una roba minuscola. Voglio dire, io come cavolo gliela espongo una cosa del genere all'orale? Devo portarmi le matrioske?
Grazie per l'aiuto.
Ripeto, il concetto in sè mi è chiaro (mi sembra addirittura ovvio, ma forse qui sbaglio io) però mi servirebbe proprio QUESTA dimostrazione. Per lo più su internet ho trovato dimostrazioni che usano le successioni, ma il problema è che io uso BW per dimostrare certi teoremi sulle successioni, quindi non va bene.
so bene che internet è pieno di dimostrazioni di BW, ma quella che mi si richiede non riesco a trovarla.
Sui miei appunti è poco chiaro e il libro sfrutta per la dimostrazione teoremi che negli appunti vengono dimostrati con BW (cioè in pratica A è vero perchè B è vero e B è vero perchè A è vero
)Teo:
Sia A in Rn un insieme infinito e limitato ---> A' $ != O/ $
Dim:
Se A è limitato possiamo dire che è un sottoinsieme di un rettangolo chiuso R1. Dividendo a sua volta questo rettangolo in altri rettangoli la loro intersezione è sempre $ != O/ $ ........
Dunque, qui i miei appunti si fermano.
Per maggiore chiarezza dirò che i rettangoli chiusi sono stati definiti come prodotto cartesiano di intervalli chiusi e che è stato dimostrato che l'intersezione di infiniti rettangoli chiusi è diversa da zero.
Tuttavia questi sono i miei problemi:
1) Come avrete notato la dimostrazione si ferma prima di dire che in quella intersezione diversa da zero c'è proprio un punto di accumulazione.
2) non è un po' "stupida" questa dimostrazione? Inscatolo l'insieme A dentro un rettangolo e poi lo tagliuzzo finchè non mi resta una roba minuscola. Voglio dire, io come cavolo gliela espongo una cosa del genere all'orale? Devo portarmi le matrioske?
Grazie per l'aiuto.
Ripeto, il concetto in sè mi è chiaro (mi sembra addirittura ovvio, ma forse qui sbaglio io) però mi servirebbe proprio QUESTA dimostrazione. Per lo più su internet ho trovato dimostrazioni che usano le successioni, ma il problema è che io uso BW per dimostrare certi teoremi sulle successioni, quindi non va bene.
Risposte
Mi sembra (l'avvio di) una dimostrazione abbastanza standard (puoi trovarla, ad esempio, sul Pagani-Salsa).
Il concetto è semplice: ad ogni passo almeno uno dei nuovi rettangolini (quelli ottenuti col dimezzamento) conterrà un numero infinito di punti di \(A\) (altrimenti \(A\) sarebbe finito).
In questo modo costruisci una successioni di rettangoli inscatolati \(R_1\supset R_2 \supset R_3\supset \cdots\) ciascuno dei quali contiene infiniti punti di \(A\), e tali che \(R_{j+1}\) ha lati lunghi la metà rispetto a quelli di \(R_j\).
Devi poi far vedere che \(\bigcap_j R_j = \{x\}\) e che \(x\) è un punto di accumulazione di \(A\).
Il concetto è semplice: ad ogni passo almeno uno dei nuovi rettangolini (quelli ottenuti col dimezzamento) conterrà un numero infinito di punti di \(A\) (altrimenti \(A\) sarebbe finito).
In questo modo costruisci una successioni di rettangoli inscatolati \(R_1\supset R_2 \supset R_3\supset \cdots\) ciascuno dei quali contiene infiniti punti di \(A\), e tali che \(R_{j+1}\) ha lati lunghi la metà rispetto a quelli di \(R_j\).
Devi poi far vedere che \(\bigcap_j R_j = \{x\}\) e che \(x\) è un punto di accumulazione di \(A\).
ma l'intersezione di un numero infinito di insiemi chi ci garantisce che non sia vuota?
Il Teorema di Cantor... 
"Rigel":
Devi poi far vedere che \(\bigcap_j R_j = \{x\}\) e che \(x\) è un punto di accumulazione di \(A\).
Per l'appunto...
è la parte che non so fare.
Voglio dire, è abbastanza chiaro in teoria. Abbiamo trovato un rettangolino con infiniti punti dentro.
Devo prendere un punto e dimostrare che per ogni R nell'intorno di raggio R di questo punto ci sono infiniti p.ti appartenenti ad A.
E tutto questo in R^n
Intanto puo ragionare in \(\mathbb{R}^2\), tanto è la stessa cosa.
Che quell'intersezione contenga al più un punto è evidente, visto che il diametro degli \(R_j\) tende a zero.
Si tratta di dimostrare che c'è un punto nell'intersezione.
Si ragiona componente per componente e si sfrutta la proprietà di completezza di \(\mathbb{R}\).
Trovi i dettagli, ad esempio, sul libro di Pagani-Salsa.
Che quell'intersezione contenga al più un punto è evidente, visto che il diametro degli \(R_j\) tende a zero.
Si tratta di dimostrare che c'è un punto nell'intersezione.
Si ragiona componente per componente e si sfrutta la proprietà di completezza di \(\mathbb{R}\).
Trovi i dettagli, ad esempio, sul libro di Pagani-Salsa.
Dunque, ci provo, ma già non ho capito perchè dici che c'è "al più" un punto. Non ce n'è infiniti?
Comunque dato che il diametro tende a zero, vuol dire che chiamando a1 e a2 due punti nel quadratino, allora d(a1,a2)
dubbi residui:
-giuro, non sono capace di estendere la cosa in Rn, non so nemmeno come sia fatto un diametro o una bisezione in Rn.
-mi manca tuttora l'ultimo punto in cui dico che se due successioni che vanno a "doppio senso di circolazione" (passamelo) e si incontrano in p, allora p è d'accumulazione..
Scusami per l'insistenza...
Comunque dato che il diametro tende a zero, vuol dire che chiamando a1 e a2 due punti nel quadratino, allora d(a1,a2)
dubbi residui:
-giuro, non sono capace di estendere la cosa in Rn, non so nemmeno come sia fatto un diametro o una bisezione in Rn.
-mi manca tuttora l'ultimo punto in cui dico che se due successioni che vanno a "doppio senso di circolazione" (passamelo) e si incontrano in p, allora p è d'accumulazione..
Scusami per l'insistenza...
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