Teorema di Bolzano-Weierstrass per spazi vettoriali finito dimensionali
Buongiorno a tutti.
Ho letto che il teorema di Bolzano-Weierstrass (da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione convergente) vale in ogni spazio vettoriale $V$ finito dimensionale (sul campo dei reali o dei complessi).
La mia domanda è: il teorema vale per $V$ [highlight]munito di una qualsiasi metrica $d$[/highlight]?
Mi spiego meglio.
Se $V$ è munito con una qualsiasi metrica $d$ indotta da una norma $||.||$ di $V$ il teorema allora vale: infatti il teorema vale per $V$ munito della metrica euclidea $d_e$ indotta dalla norma euclidea $||.||_e$, e usando il fatto che tutte le norme (e le metriche da queste indotte quindi) sono equivalenti su uno spazio vettoriale finito dimensionale, allora il teorema vale per $V$ munito di una qualunque metrica indotta da una norma.
[highlight]Ma il teorema continua a valere per $V$ munito di una metrica non indotta da alcuna norma?[/highlight]
Per farla molto semplice: il teorema di Bolzano-Weierstrass vale ovviamente su $\mathbb{R}$ munito della metrica euclidea $d_e$ indotta dalla norma euclidea $||.||_e$ che in $\mathbb{R}$ si riduce semplicemente al modulo $|.|$.
Ma se munisco $\mathbb{R}$ di una metrica "brutta" $d$ non indotta da alcuna norma di $\mathbb{R}$, il teorema di Bolzano-Weierstrass continua a valere?
Personalmente credo di no, perché munendo $\mathbb{R}$ (o più in generale $V$) di una metrica non indotta da alcuna norma di $\mathbb{R}$ non stiamo sfruttando in alcun modo il fatto che stiamo ragionando con uno spazio vettoriale, e ci mettiamo praticamente nella condizione di voler dimostrare il teorema di B-W in uno spazio metrico (e sappiamo benissimo che tale teorema non vale in generale in spazi metrici).
Attendo un vostro gentile chiarimento.
Ho letto che il teorema di Bolzano-Weierstrass (da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione convergente) vale in ogni spazio vettoriale $V$ finito dimensionale (sul campo dei reali o dei complessi).
La mia domanda è: il teorema vale per $V$ [highlight]munito di una qualsiasi metrica $d$[/highlight]?
Mi spiego meglio.
Se $V$ è munito con una qualsiasi metrica $d$ indotta da una norma $||.||$ di $V$ il teorema allora vale: infatti il teorema vale per $V$ munito della metrica euclidea $d_e$ indotta dalla norma euclidea $||.||_e$, e usando il fatto che tutte le norme (e le metriche da queste indotte quindi) sono equivalenti su uno spazio vettoriale finito dimensionale, allora il teorema vale per $V$ munito di una qualunque metrica indotta da una norma.
[highlight]Ma il teorema continua a valere per $V$ munito di una metrica non indotta da alcuna norma?[/highlight]
Per farla molto semplice: il teorema di Bolzano-Weierstrass vale ovviamente su $\mathbb{R}$ munito della metrica euclidea $d_e$ indotta dalla norma euclidea $||.||_e$ che in $\mathbb{R}$ si riduce semplicemente al modulo $|.|$.
Ma se munisco $\mathbb{R}$ di una metrica "brutta" $d$ non indotta da alcuna norma di $\mathbb{R}$, il teorema di Bolzano-Weierstrass continua a valere?
Personalmente credo di no, perché munendo $\mathbb{R}$ (o più in generale $V$) di una metrica non indotta da alcuna norma di $\mathbb{R}$ non stiamo sfruttando in alcun modo il fatto che stiamo ragionando con uno spazio vettoriale, e ci mettiamo praticamente nella condizione di voler dimostrare il teorema di B-W in uno spazio metrico (e sappiamo benissimo che tale teorema non vale in generale in spazi metrici).
Attendo un vostro gentile chiarimento.
Risposte
Una qualsiasi successione che non assume infinite volte nessun valore in $RR^n$ è limitata se poni la metrica discreta su esso, ma non ha sottosuccessione convergenti.
Ok quindi bastava considerare la metrica discreta (che non è indotta da nessuna norma) e vedere che munendo $V$ di tale metrica il teorema di B-W non tiene, perché esiste almeno una successione limitata in tale metrica che però non ammette nessuna sottosuccessione convergente. Giusto?
Dunque in definitiva ne caso più generale posso dire che: [highlight]Il teorema di B-W vale per ogni spazio vettoriale finito dimensionale (sul campo $\mathbb{K}$ dei reali o dei complessi) munito di metrica indotta da una qualsiasi sua norma.[/highlight]
Corretto?
Grazie delle disponibilità
Dunque in definitiva ne caso più generale posso dire che: [highlight]Il teorema di B-W vale per ogni spazio vettoriale finito dimensionale (sul campo $\mathbb{K}$ dei reali o dei complessi) munito di metrica indotta da una qualsiasi sua norma.[/highlight]
Corretto?
Grazie delle disponibilità
Si giusto.
Mille grazie!
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