Teorema di Bolzano-Weierstrass in Q
Buona sera
Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che:
Ogni insieme E incluso in R^n limitato e infinito ammette almeno un punto di accumulazione.
Il teorema non dice nulla di più sul punto di accumulazione. Ma per molti professori e studenti il teorema affermerebbe anche che il punto di accumulazione appartiene all'insieme E. E dichiarano essere questo il motivo per cui "in Q" i teorema non vale.
La mia domanda è: 1) per il teorema di Bolzano-Weierstrass, il punto di accumulazione dell'enunciato deve appartenere all'insieme limitato e infinito dell'enunciato? O, nell'enunciato alternatico: il punto a cui converge la sottosuccessione estratta dalla successione limitata deve essere parte della successione di partenza?
Se sì, potrebbero esserci eccezioni se l'insieme o la successione fosse fatta di soli razionali, perché i punti potrebbero accumularsi attorno a un irrazionale, e, non appartenendo il punto all'insieme (o alla successione), il teorema in questa estesa (e a mio parere erronea) forma non varrebbe. Ditemi se sbaglio.
Se non è necessario per il teorema che il punto di accumulazione appartenga all'insieme, vale il teorema anche se l'insieme è incluso in Q? La domanda dovrebbe rispondersi da sola dato l'enunciato del teorema ma ho riscontrato problemi e mi sono nati dubbi riguardo a questo, pro e contro.
Forse mi mancano nozioni, probabilmente il problema ha a che fare con la nozione di insieme universo, probabilmente sbaglio nell'interpretazione di quanto ho visto.
Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che:
Ogni insieme E incluso in R^n limitato e infinito ammette almeno un punto di accumulazione.
Il teorema non dice nulla di più sul punto di accumulazione. Ma per molti professori e studenti il teorema affermerebbe anche che il punto di accumulazione appartiene all'insieme E. E dichiarano essere questo il motivo per cui "in Q" i teorema non vale.
La mia domanda è: 1) per il teorema di Bolzano-Weierstrass, il punto di accumulazione dell'enunciato deve appartenere all'insieme limitato e infinito dell'enunciato? O, nell'enunciato alternatico: il punto a cui converge la sottosuccessione estratta dalla successione limitata deve essere parte della successione di partenza?
Se sì, potrebbero esserci eccezioni se l'insieme o la successione fosse fatta di soli razionali, perché i punti potrebbero accumularsi attorno a un irrazionale, e, non appartenendo il punto all'insieme (o alla successione), il teorema in questa estesa (e a mio parere erronea) forma non varrebbe. Ditemi se sbaglio.
Se non è necessario per il teorema che il punto di accumulazione appartenga all'insieme, vale il teorema anche se l'insieme è incluso in Q? La domanda dovrebbe rispondersi da sola dato l'enunciato del teorema ma ho riscontrato problemi e mi sono nati dubbi riguardo a questo, pro e contro.
Forse mi mancano nozioni, probabilmente il problema ha a che fare con la nozione di insieme universo, probabilmente sbaglio nell'interpretazione di quanto ho visto.
Risposte
"Andrea Salucci":
Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che:
Ogni insieme E incluso in R^n limitato e infinito ammette almeno un punto di accumulazione.
Il teorema non dice nulla di più sul punto di accumulazione. Ma per molti professori e studenti il teorema affermerebbe anche che il punto di accumulazione appartiene all'insieme E.
Gli studenti dicono un sacco di cavolate, quindi non fanno granché testo; e non ho mai sentito docenti che dicessero qualcosa del genere.
D'altra parte $0$ non appartiene ad $E:=\{1/n,\ n in NN\}$, pur essendo un suo punto di accumulazione.
"Andrea Salucci":
E dichiarano essere questo il motivo per cui "in Q" i teorema non vale.
Discorso analogo al precedente.
"Andrea Salucci":
La mia domanda è: 1) per il teorema di Bolzano-Weierstrass, il punto di accumulazione dell'enunciato deve appartenere all'insieme limitato e infinito dell'enunciato? O, nell'enunciato alternatico: il punto a cui converge la sottosuccessione estratta dalla successione limitata deve essere parte della successione di partenza?
Riferisciti al controesempio precedente.
"Andrea Salucci":
Se sì, potrebbero esserci eccezioni se l'insieme o la successione fosse fatta di soli razionali, perché i punti potrebbero accumularsi attorno a un irrazionale, e, non appartenendo il punto all'insieme (o alla successione), il teorema in questa estesa (e a mio parere erronea) forma non varrebbe. Ditemi se sbaglio.
Se non è necessario per il teorema che il punto di accumulazione appartenga all'insieme, vale il teorema anche se l'insieme è incluso in Q? La domanda dovrebbe rispondersi da sola dato l'enunciato del teorema ma ho riscontrato problemi e mi sono nati dubbi riguardo a questo, pro e contro.
Forse mi mancano nozioni, probabilmente il problema ha a che fare con la nozione di insieme universo, probabilmente sbaglio nell'interpretazione di quanto ho visto.
Semplicemente, esistono successioni di razionali che approssimano numeri che razionali non sono.
Ad esempio, $(1+1/n)^n$ e $sum_(k=0)^n 1/(k!)$ sono numeri razionali per ogni $n in NN$, ma approssimano un numero irrazionale (che, per definizione, si chiama $e$); o i termini della successione definita dalla ricorrenza:
$\{ (a_(n+1) = a_n/2 + 1/a_n), (a_1=1):}$
sono tutti razionali, ma approssimano un numero irrazionale (i.e., $sqrt(2)$).
Grazie mille.
P. s.: il mio professore di analisi è un esempio (di quelli che sbagliano questo teorema), e ce ne sono altri, comunque non molti, tuttavia si possono trovare facilmente su internet pagine che affermano che il teorema non è applicabile considerando solo Q. A causa di questa sua cattiva comprensione. D'altra parte se il punto dovesse appartenere all'insieme il teorema non sarebbe valido nemmeno per insiemi del tipo \(\displaystyle \{ 1/x, x \in \mathbb{R}, x \leq 1 \} \) o \(\displaystyle \{ x \in \mathbb{R}, 0 \leq x<1 \} \). Grazie per gli esempi.
Per il chiarimento e la conferma di questa erroneità.
P. s.: il mio professore di analisi è un esempio (di quelli che sbagliano questo teorema), e ce ne sono altri, comunque non molti, tuttavia si possono trovare facilmente su internet pagine che affermano che il teorema non è applicabile considerando solo Q. A causa di questa sua cattiva comprensione. D'altra parte se il punto dovesse appartenere all'insieme il teorema non sarebbe valido nemmeno per insiemi del tipo \(\displaystyle \{ 1/x, x \in \mathbb{R}, x \leq 1 \} \) o \(\displaystyle \{ x \in \mathbb{R}, 0 \leq x<1 \} \). Grazie per gli esempi.
Per il chiarimento e la conferma di questa erroneità.
Ok, ho chiarito con il professore, come sospettavo intendeva "se Q fosse il nostro insieme universo". Da notare che il teorema non varrebbe davvero se Q fosse l'insieme universo. Probabilmente anche il resto di quello che ho trovato sottintende questo; inoltre nessun altro ha affermato, sbagliando, quanto ho detto, ci sono state solo incomprensioni. Quindi perdonate l'invettiva e mi scuso con chi ho accusato.
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