Teorema di bolzano (f di più variabili)

[enr87]

non so se ho capito bene la dimostrazione, a dispetto del fatto che intuitivamente descrive una cosa abbastanza semplice. riporto anche l'enunciato del teorema per completezza:

sia $ X \subseteq R^n$ connesso per archi, $ f: X \to R$ continua in X, $ x_1, x_2 \in X $ tali che $ f(x_1) f(x_2) < 0 $. allora $ \exists \xi \in X $ tale che $ f(\xi) = 0 $

per la dimostrazione ho pensato questo, rifacendomi anche agli appunti:
X connesso per archi significa che comunque presi x1 e x2 in X esiste una curva $ \gamma $ di estremi x1 e x2 (cioè $ \gamma: [a,b] \to X $ tale che $ \gamma(a) = x_1, \gamma(b) = x_2$ ), il cui sostegno è tutto contenuto in X. questo sarà quindi valido anche per x1 e x2 presi come nelle ipotesi, ossia tali che f(x1) f(x2) < 0.
a questo punto, f(x1) f(x2) < 0 implica $ f(gamma(a)) f(gamma(b)) < 0 $. ora, essendo $gamma$ una funzione continua definita su un unico intervallo, è lecito dedurre che esiste $gamma(c)$ tale che $ f(gamma(c)) = 0 $ (quindi poi basterebbe porre $xi = gamma(c)$) o salto qualche passaggio?

grazie

[gugo82]

Lecitissimo, ma bisogna specificare che [tex]$c$[/tex] lo trovi perchè [tex]$f\circ \gamma$[/tex] è funzione continua in [tex]$[a,b]$[/tex].

[enr87]

perfetto, grazie