Teorema di Baire

[18Gigia18]

Sto studiando il teorema di Baire: "Se $ X $ è uno spazio di Banach, ogni intersezione numerabile di aperti densi in $ X $ è densa in $X$ ".
Ho trovato che una formulazione equivalente di questo teorema è la seguente: " Se $ (X_n ) _{n \ge 1} $ è una successione di chiusi tale che $ \uu X_n = X $ allora $ \EE \quad n_0 $ tale che $ Int X_{n_0} != O/ $.
Non riesco però a comprendere l'effettiva equivalenza delle proposizioni.

[gugo82]

In realtà è molto semplice: basta riscrivere il secondo enunciato e, nella dimostrazione dell'equivalenza, passare ai complementari (come ogni dimostrazione topologica).

I due enunciati del Lemma di Baire sono i seguenti:

Enunciato 1: Se \((A_n)\) è una successione di aperti densi in \(X\) (spazio metrico completo), allora \(\bigcap_n A_n\) è un aperto denso in \(X\).

Enunciato 2: Se \((X_n)\) è una successione di chiusi in \(X\) (spazio metrico completo) aventi interno vuoto, allora \(\bigcup_n X_n\) è un chiuso con interno vuoto.

con l'Enunciato 2 ottenuto per contrapposizione dal tuo. La dimostrazione dell'equivalenza va pressapoco come segue.

Dim.: Enunciato 1 \(\Rightarrow\) Enunciato 2. Prendiamo una successione \((X_n)\) di chiusi con interno vuoto e definiamo:
\[
A_n:=X\setminus X_n\; ;
\]
chiaramente ogni \(A_n\) è un aperto denso in \(X\), poiché infatti è il complementare di un chiuso e si ha:
\[
\operatorname{cl} A_n = \operatorname{cl} (X\setminus X_n) = X\setminus \operatorname{int} X_n = X\; .
\]
Per l'Enunciato 1, l'aperto \(\bigcap_n A_n\) è denso in \(X\); ma è:
\[
\bigcap_n A_n = \bigcap_n X\setminus X_n = X\setminus \bigcup_n X_n
\]
dunque:
\[
X=\operatorname{cl} \left( \bigcap_n A_n\right) = \operatorname{cl} \left( X\setminus \bigcup_n X_n\right) = X\setminus \operatorname{int} \left( \bigcup_n X_n\right)
\]
da cui \(\operatorname{int} \left( \bigcup_n X_n\right) = \varnothing\).

Enunciato 2 \(\Rightarrow\) Enunciato 1. Prendiamo una successione \((A_n)\) di aperti densi e definiamo:
\[
X_n:=X\setminus A_n\; ;
\]
chiaramente ogni \(X_n\) è un chiuso con interno vuoto, poiché infatti è il complementare di un aperto e si ha:
\[
\operatorname{int} X_n = \operatorname{int} (X\setminus A_n) = X\setminus \operatorname{cl} A_n = X\setminus X=\varnothing\; .
\]
Per l'Enunciato 2, il chiuso \(\bigcup_n X_n\) ha interno vuoto; ma è:
\[
\bigcup_n X_n = \bigcup_n X\setminus A_n = X\setminus \bigcap_n A_n
\]
dunque:
\[
\varnothing=\operatorname{int} \left( \bigcup_n X_n\right) = \operatorname{int} \left( X\setminus \bigcap_n A_n\right) = X\setminus \operatorname{cl} \left( \bigcap_n A_n\right)
\]
da cui \(\operatorname{cl} \left( \bigcap_n A_n\right) = X\), cioé \(\bigcap_n A_n\) è denso in \(X\). \(\square\)

[18Gigia18]

Grazie mille!