Teorema di Abel (teoria EDO lineari II ordine)
Salve a tutti!
Il teorema di Abel afferma che:
\[\tag{1}
W[y_1,y_2](x)=W[y_1,y_2](x_0)\exp \left (-\int_{x_0}^{x}p(\xi)d\xi \right )
\]
dove:
- \(x_0\) è un qualsiasi punto dell'intervallo di definizione \(I \subseteq \mathbb{R}\)
-\(W[y_1,y_2](x)\) è il wronskiano delle funzioni \(y_1\) e \(y_2\) calcolato in \(x\)
-\(y_1\) e \(y_2\) sono soluzioni della EDO omogenea \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\), con \(p\) e \(q\) continue su tutto l'intervallo di definizione \(I \subseteq \mathbb{R}\)
Il testo che sto seguendo riporta che:
"La \((1)\) afferma che il wronskiano è identicamente nullo se è nullo in un punto, altrimenti se è diverso da zero in un punto allora lo è in tutto il dominio di definizione"
La domanda che ho al riguardo è come si spiega quest'ultima affermazione?
Il wronskiano si annulla solo per \(W[y_1,y_2](x_0)=0\) in quanto la funzione esponenziale non si annulla mai, ma come si fa a dire che se esiste almeno un punto in cui non si annulla allora non si annulla mai in tutto l'intervallo di definizione?
E per il fatto che se si annulla in un punto allora è nulla in tutto l'intervallo di definizione?
Grazie in anticipo a tutti!
Il teorema di Abel afferma che:
\[\tag{1}
W[y_1,y_2](x)=W[y_1,y_2](x_0)\exp \left (-\int_{x_0}^{x}p(\xi)d\xi \right )
\]
dove:
- \(x_0\) è un qualsiasi punto dell'intervallo di definizione \(I \subseteq \mathbb{R}\)
-\(W[y_1,y_2](x)\) è il wronskiano delle funzioni \(y_1\) e \(y_2\) calcolato in \(x\)
-\(y_1\) e \(y_2\) sono soluzioni della EDO omogenea \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\), con \(p\) e \(q\) continue su tutto l'intervallo di definizione \(I \subseteq \mathbb{R}\)
Il testo che sto seguendo riporta che:
"La \((1)\) afferma che il wronskiano è identicamente nullo se è nullo in un punto, altrimenti se è diverso da zero in un punto allora lo è in tutto il dominio di definizione"
La domanda che ho al riguardo è come si spiega quest'ultima affermazione?
Il wronskiano si annulla solo per \(W[y_1,y_2](x_0)=0\) in quanto la funzione esponenziale non si annulla mai, ma come si fa a dire che se esiste almeno un punto in cui non si annulla allora non si annulla mai in tutto l'intervallo di definizione?
E per il fatto che se si annulla in un punto allora è nulla in tutto l'intervallo di definizione?
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
$W[y_1,y_2](x_0)$ è una costante e quello che resta è un esponenziale. Per cui se la costante è zero, vale tutto zero. Altrimenti...
Ultimamente sbarello un po' troppo...
Grazie ciampax!
Grazie ciampax!
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