Teorema derivazione di funzioni composte
Salve a tutti. Qualche ora fa la professoressa ha introdotto il teorema di derivazione di funzioni composte (dopo aver parlato del jacobiano (o matrice jacobiana, per me sono equivalenti anche se la nomenclatura non è unica)).
Sarò sincero: non mi è tutto completamente chiaro
, e per questo vorrei sapere se questo esercizio che ha lasciato vada svolto nel modo in cui io lo ho svolto (ne dubito fortemente):
Sia $\gamma : I \sube \RR \to \RR^k$, derivabile. Sia $g : \RR^k \to \RR^d$ e chiedo che lei sia differenziabile. Detta $h(t) = g(\gamma(t))$ determinare la derivata di quest'ultima nel caso $d = 1$.
Allora la $h : I \sube \RR \to \RR, t \to h_(t)$ e fin qui dovrebbe essere tutto ok.
Partiamo dalla $\vec \gamma(t) = [(\gamma_1 (t)),...,(\gamma_k(t))]$, ovvero restituisce un vettore di k componenti. Tuttavia, probabilmente sto per dire una sciocchezza e in tal caso chiedo venia, se guardiamo alle componenti prese singolarmente, si potrebbe dire che essendo delle funzioni a una variabile $\gamma_i :\RR \to \RR$ allora la derivabilità ci dice che sono anche differenziabili. (altrimenti non potrei nemmeno usare il teorema, e dato l'esercizio, mi sembra quasi impossibile). Adesso rientriamo nelle ipotesi del teorema.
Adesso devo quindi prendere il jacobiano della $g$, che secondo i miei calcoli, dovrebbe essere:
$Jg(\vec \gamma(t)) = \grad(\vec \gamma(t)) = {(g_{\gamma_1}(\gamma_1(t))),...,(g_{gamma_k}(\gamma_k(t)))}$. Qui non sono sicuro del fatto che le $\frac{\partial g}{\partial \gamma_i}$ vengano calcolate in $\gamma_i(t)$. Vabbè, andiamo avanti:
Prendiamo il jacobiano di $gamma$: se non sbaglio si tratta semplicemente di $\vec \gamma'(t) = {(\gamma_1'(t)),...,(\gamma_k'(t))}$
Dunque ottengo che:
$h'(t) = \grad(g(\vec \gamma(t)) \vec \gamma'(t)$, ove qui dovrebbe essere un prodotto vettore riga pe vettore colonna (anche se alla fine ho pensato che lo scalare funzionerebbe comunque):
$h'(t) = \sum_{i = 1}^{k} = \frac{\partial g}{\partial \gamma_i}(\gamma_i (t)) \gamma_i'(t)$.
In effetti otteniamo uno scalare (che è giusto perché $h :\RR \to \RR$), infatti si tratta, detto in maniera sbagliata perché dovrebbe essere un prodotto riga x colonna, del prodotto scalare tra due k-uple.
Ringrazio in anticipo chi vorrà rispondere.
P.S. Siate clementi please, sto affrontando un periodo molto harsh dal punto di vista accademico hahaha
Sarò sincero: non mi è tutto completamente chiaro
, e per questo vorrei sapere se questo esercizio che ha lasciato vada svolto nel modo in cui io lo ho svolto (ne dubito fortemente):Sia $\gamma : I \sube \RR \to \RR^k$, derivabile. Sia $g : \RR^k \to \RR^d$ e chiedo che lei sia differenziabile. Detta $h(t) = g(\gamma(t))$ determinare la derivata di quest'ultima nel caso $d = 1$.
Allora la $h : I \sube \RR \to \RR, t \to h_(t)$ e fin qui dovrebbe essere tutto ok.
Partiamo dalla $\vec \gamma(t) = [(\gamma_1 (t)),...,(\gamma_k(t))]$, ovvero restituisce un vettore di k componenti. Tuttavia, probabilmente sto per dire una sciocchezza e in tal caso chiedo venia, se guardiamo alle componenti prese singolarmente, si potrebbe dire che essendo delle funzioni a una variabile $\gamma_i :\RR \to \RR$ allora la derivabilità ci dice che sono anche differenziabili. (altrimenti non potrei nemmeno usare il teorema, e dato l'esercizio, mi sembra quasi impossibile). Adesso rientriamo nelle ipotesi del teorema.
Adesso devo quindi prendere il jacobiano della $g$, che secondo i miei calcoli, dovrebbe essere:
$Jg(\vec \gamma(t)) = \grad(\vec \gamma(t)) = {(g_{\gamma_1}(\gamma_1(t))),...,(g_{gamma_k}(\gamma_k(t)))}$. Qui non sono sicuro del fatto che le $\frac{\partial g}{\partial \gamma_i}$ vengano calcolate in $\gamma_i(t)$. Vabbè, andiamo avanti:
Prendiamo il jacobiano di $gamma$: se non sbaglio si tratta semplicemente di $\vec \gamma'(t) = {(\gamma_1'(t)),...,(\gamma_k'(t))}$
Dunque ottengo che:
$h'(t) = \grad(g(\vec \gamma(t)) \vec \gamma'(t)$, ove qui dovrebbe essere un prodotto vettore riga pe vettore colonna (anche se alla fine ho pensato che lo scalare funzionerebbe comunque):
$h'(t) = \sum_{i = 1}^{k} = \frac{\partial g}{\partial \gamma_i}(\gamma_i (t)) \gamma_i'(t)$.
In effetti otteniamo uno scalare (che è giusto perché $h :\RR \to \RR$), infatti si tratta, detto in maniera sbagliata perché dovrebbe essere un prodotto riga x colonna, del prodotto scalare tra due k-uple.
Ringrazio in anticipo chi vorrà rispondere.
P.S. Siate clementi please, sto affrontando un periodo molto harsh dal punto di vista accademico hahaha
Risposte
Lo Jacobiano è il determinante della matrice jacobiana, quando questa è quadrata.
E' scritto anche qui, seconda frase dall'inizio.
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobiana
Quello che hai scritto in generale va bene, alla fine qual e' la domanda/dubbio ?
La matrice jacobiana di una funzione $f: \RR^m -> \RR^n$ e' una matrice $n \times m$, $n$ righe per $m$ colonne.
Deve avere $m$ colonne perche' si deve poter moltiplicare da destra con il vettore colonna a $m$ righe delle variabili indipendenti.
Se $n=1$ sara' una riga sola, se $m=1$ sara' una colonna sola.
Dentro la matrice ci sono le derivate parziali.
Basta, e' tutto qui. Per il momento almeno.
E' scritto anche qui, seconda frase dall'inizio.
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobiana
Quello che hai scritto in generale va bene, alla fine qual e' la domanda/dubbio ?
La matrice jacobiana di una funzione $f: \RR^m -> \RR^n$ e' una matrice $n \times m$, $n$ righe per $m$ colonne.
Deve avere $m$ colonne perche' si deve poter moltiplicare da destra con il vettore colonna a $m$ righe delle variabili indipendenti.
Se $n=1$ sara' una riga sola, se $m=1$ sara' una colonna sola.
Dentro la matrice ci sono le derivate parziali.
Basta, e' tutto qui. Per il momento almeno.
Ah ok volevo sapere se fosse tutto giusto. Va bene grazie Quinzio mi serviva solo sapere ciò
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo