Teorema dell'inversione locale
Il teorema può essere espresso nel modo seguente? Sul mio testo credo di aver capito che:
Sia $f: A \subseteq R^n ->R^n$ e $x_0 \in A$ se $J_f (x_0)$ è invertibile allora la funzione è localmente invertibile, cioè esiste un intorno $U$ (non capisco perchè deve essere aperto) in $x_0$ e $V$ in $f(x_0)$ tali che $f: U -> V$ è biunivoca
Perchè anche $A$ deve essere aperto, come in tanti altri teoremi?
Grazie mille
Sia $f: A \subseteq R^n ->R^n$ e $x_0 \in A$ se $J_f (x_0)$ è invertibile allora la funzione è localmente invertibile, cioè esiste un intorno $U$ (non capisco perchè deve essere aperto) in $x_0$ e $V$ in $f(x_0)$ tali che $f: U -> V$ è biunivoca
Perchè anche $A$ deve essere aperto, come in tanti altri teoremi?
Grazie mille
Risposte
La definizione di localmente invertibile è fatta con gli aperti, tutto qui. Poi in questo caso sappiamo che un aperto contiene un chiuso e viceversa, quindi il teorema varrebbe anche per i chiusi o in generale per gli intorni.
Ricorda però che per definizione un'intorno è un insieme che contiene un intorno aperto; in spazi topologici in generale non è detto che contenga anche un chiuso, in spazi euclidei sì.
Ricorda però che per definizione un'intorno è un insieme che contiene un intorno aperto; in spazi topologici in generale non è detto che contenga anche un chiuso, in spazi euclidei sì.
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