Teorema delle funzioni implicite

[Sk_Anonymous]

Salve. Mi chiedevo se è possibile, almeno formalmente, adattare il teorema delle funzioni implicite al caso in cui il numero delle equazioni sia uguale a quello delle variabili, in pratica, quando l'intorno si riduce a un punto. Se si considera l'enunciato e la dimostrazione, direi proprio di no. Voglio dire, dal mio punto di vista, il caso proposto non può nemmeno essere considerato un caso limite, nel senso che il teorema perde completamente di significato. Grazie.

[DavideGenova1]

Ne riporto un possibile enunciato da V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini, Analisi matematica, vol.2, Milano 2008:
"Sia $\vec G: A \subset RR^{n+m}->RR^m$ con $A$ aperto, una funzione di classe $C^-1(A)$, e sia \((\vec x_0, \vec y_0) \in A\) tale che \(\vec G(\vec x_0, \vec y_0)=\vec 0\) e \(\text{det}D_{\vec y}\vec G(\vec x_0, \vec y_0) \neq 0\) [\(D_{\vec y}\) è sempre la jacobiana rispetto a $\vec y$], allora esistono $\delta>0,\sigma>0$ ed una funzione \(\vec y=\vec\varphi(\vec x)\) definita in \(I=B_{\delta}(\vec x_0) \subset \mathbb{R}^n\) a valori in \(J=B_{\sigma}(\vec y_0) \subset \mathbb{R}^m\), tale che
- \(\vec y_0=\vec\varphi(\vec x_0)\)
- \(\vec G(\vec x,\vec y)=0\) in \(I×J \iff \vec y=\vec\varphi(\vec x)\)
-$\vec\varphi$ è a sua volta di classe $C^1(I,J)$ e la sua matrice jacobiana vale \(J_{\vec\varphi}(\vec x)=-(D_{\vec y}\vec G(\vec x,\vec y))^{-1} D_{\vec x}\vec G(\vec x,\vec y),\) $AA \vec x \in I$".
Penso che non sia inutile riportarne una possibile espressione e intanto marco l'opzione "Avvisami via e-mail di risposte a questo argomento"... Grazie anche da parte mia a chi contribuirà alla discussione!

[Rigel1]

Nel caso descritto non hai, in generale, un sistema che ti definisce una funzione implicita, ma semplicemente un sistema di equazioni.
Più precisamente, se \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) è di classe \(C^1\), e \(x_0\in\mathbb{R}^n\) è tale che \(f(x_0) = 0\) e \(Df(x_0)\) è non singolare, allora \(x_0\) è uno zero isolato di \(f\), cioè esiste un intorno \(U\) di \(x_0\) t.c. l'equazione \(f(x) = 0\) ammette in \(U\) l'unica soluzione \(x_0\).

[dissonance]

Mi pare che (almeno nella letteratura anglosassone), in questo caso si parli di "inverse function theorem" invece che di "implicit function theorem". Invece sui libri italiani si attribuisce tutto a Dini: "teoremi del Dini".

[DavideGenova1]

$+oo$ grazie a tutti!!! Sto sicuramente per dire una stupidata enorme, ma la dico... Immaginando la funzione \(\vec G (\vec x, \vec y):\mathbb{R}^{n+m} \rightarrow \mathbb{R}^m\) con $\vec x \in RR^n$ che non compare (come se fosse preceduto da un coefficiente 0, per esempio), calcolando la matrice jacobiana di $\vec \varphi$ in effetti mi pare che \(J_{\vec \varphi} (\vec x)= \begin{bmatrix} 0 & ... & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & ... & 0 \end{bmatrix}\) con $m$ righe e $n$ colonne, sicché mi sembrerebbe che il teorema delle funzioni implicite come espresso sopra nella mia citazione porterebbe a $\vec varphi -= \vec y_0$ costante, in accordo con quanto fatto notare da Rigel...

[Sk_Anonymous]

@Rigel $^^$ @dissonance
Grazie delle risposte.