Teorema delle funzioni implicite

[luca.piacentini2]

Determinare i valori di $\alpha in RR$ per i quali l'equazione:
$e^(\alphay-x^2)+y-5x=alpha^2$ definisce implicitamente una funzione di $y=f(x)$ in un intorno del punto $(0,0)$. Per tali valori di $\alpha$ calcolare il seguente limite: $\lim_(x->0) f(x)/x$

Io ho agito in questo modo e volevo sapere se fosse corretto sostanzialmente. Per il teorema delle funzioni implicite, affinchè sia definita una funzione $y=f(x)$ in un intorno del punto $(0,0)$, in sostanza la derivata parziale della mia funzione di partenza rispetto a y deve essere diversa da zero nel punto considerato, e questo accade per $\alpha!=-1$
E' sufficiente?

[dissonance]

Si ok la derivata. Ma c'è un'altra condizione che deve essere soddisfatta. Parafrasando il tuo ragionamento, io potrei dire che l'equazione
\[
x^2+y^2=-\alpha, \qquad \alpha >0
\]
definisce implicitamente una funzione \(y=y(x)\) in un intorno del punto \((1,1)\), per esempio. Infatti, la derivata parziale del membro sinistro vale \(2y\) e non si annulla per \(y=1\).

Perché sto dicendo una cavolata?

[luca.piacentini2]

Devo anche calcolare quanto vale la mia equazione di partenza nel punto $(0,0)$, giusto? Osservo che esce che $\alpha=+-1$ e quindi dal calcolo della derivata posso escludere il valore -1.

[dissonance]

Si. Ma stai attento a ragionare e a non fare mai le cose a macchinetta.

[luca.piacentini2]

Hai ragione. Grazie mille!

[dissonance]

E comunque ti resta da calcolare il limite.

[luca.piacentini2]

Si, $f(x)$ me la ricavo con lo sviluppo di Taylor, giusto?

[dissonance]

Non lo so se è giusto: se vuoi, fai vedere uno svolgimento completo e io ti dico la mia opinione.