Teorema delle funzioni implicite
Buonasera a tutti.
Dando un'occhiata ad alcuni contenuti del forum...non potevo trovarmi un nick migliore! Il guaio è che riprendere a studiare a una certa età è veramente dura...
Sarei grato a chiunque voglia aiutarmi nel risolvere un esercizio che, benché possa essere banale per i più, mi sta però facendo perdere un sacco di tempo...Eccolo:
Date le equazioni:
$F(Y_1, Y_2, X)=Y_1-Y_2+X-1=0$ e
$G(Y_1, Y_2, X)=Y_1^2+Y_2^2+X^2-1=0$
è richiesto di calcolare: $(dY_1)/(dX)$ e $(dY_2)/(dX)$
Per quale condizione di equilibrio, è applicabile il teorema?
$(((dY_1)/(dX)),((dY_2)/(dX)))$=$-((f_1^1,f_2^1),(f_1^2,f_2^2))^-1$$(((partialf^1)/(partialX)),((partialf^2)/(partialX)))$
Non riesco a trovare la via a meno di cambiare di segno al secondo termine della seconda equazione...
in questo caso, sarebbe allora per X=1, (Y1, Y2)=(1, -1)... sbaglio?
Dando un'occhiata ad alcuni contenuti del forum...non potevo trovarmi un nick migliore! Il guaio è che riprendere a studiare a una certa età è veramente dura...
Sarei grato a chiunque voglia aiutarmi nel risolvere un esercizio che, benché possa essere banale per i più, mi sta però facendo perdere un sacco di tempo...Eccolo:
Date le equazioni:
$F(Y_1, Y_2, X)=Y_1-Y_2+X-1=0$ e
$G(Y_1, Y_2, X)=Y_1^2+Y_2^2+X^2-1=0$
è richiesto di calcolare: $(dY_1)/(dX)$ e $(dY_2)/(dX)$
Per quale condizione di equilibrio, è applicabile il teorema?
$(((dY_1)/(dX)),((dY_2)/(dX)))$=$-((f_1^1,f_2^1),(f_1^2,f_2^2))^-1$$(((partialf^1)/(partialX)),((partialf^2)/(partialX)))$
Non riesco a trovare la via a meno di cambiare di segno al secondo termine della seconda equazione...
in questo caso, sarebbe allora per X=1, (Y1, Y2)=(1, -1)... sbaglio?
Risposte
Benvenut* Nutshell(*), 
penso che il tuo dubbio sia risolvibile consultando un buon libro di testo; se non ne hai uno ti consiglio Fusco, Marcelli, Sbordone - Analisi matematica II.
Per risolvere l'esercizio, ovvero applicare la formula che hai scritto devi verificare che la matrice jacobiana (che non riscrivo) rispetto alle \(y_1\) e \(y_2\): esista (banale) e che sia invertibile (non banale)!
§§§
(*) Sei un* fan di Grothendieck?
penso che il tuo dubbio sia risolvibile consultando un buon libro di testo; se non ne hai uno ti consiglio Fusco, Marcelli, Sbordone - Analisi matematica II.
Per risolvere l'esercizio, ovvero applicare la formula che hai scritto devi verificare che la matrice jacobiana (che non riscrivo) rispetto alle \(y_1\) e \(y_2\): esista (banale) e che sia invertibile (non banale)!
§§§
(*) Sei un* fan di Grothendieck?
Beh, parto dalla fine: è la prima volta che "incontro" Grothendieck...su Wiki! Quindi avrei seri problemi a definirmi suo fan... 
Tornando al quesito, il punto è proprio nel fatto che, lasciando tutto com'è nelle due equazioni, la matrice Jacobiana non esiste; mentre invertendo il segno al termine in $Y_2$ della seconda equazione, il sistema assume un aspetto più facilmente manipolabile. Non fraintendere: non ho l'abitudine ad aggiustarmi le cose tanto per ****ttare i risultati...sto solo cercando di capire se il problema non sia dovuto semplicemente al tipico, malefico errore di "stompa" sul testo degli esercizi.
La matrice Jacobiana in $Y_1$ e $Y_2"$, dunque, esiste (con l'accorgimento del cambio di segno) ed è, nelle condizioni che definiscono l'equilibrio del sistema $X=1$, $(Y_1, Y_2)=(1, -1)$:
$((1,-1),(2Y_1,-2Y_2))$=$((1,-1),(2,2))$
La matrice Jacobiana è inoltre invertibile, essendo il suo determinante $|J|=2+2=4!=0$
A questo punto, la matrice 2x2 dei suoi cofattori è:
$C=((2,-2),(1,1))$, la cui matrice trasposta è $C'=((2,1),(-2,1))$
Si ottiene quindi la matrice inversa $J^-1$=$((1/2,1/4),(-1/2,1/4))$
Dall'applicazione del teorema quindi si ha, sempre mediante sostituzione delle variabili con i loro valori all'equilibrio:
$(((dY_1)/(dX)),((dY_2)/(dX)))$=$-J^-1(((delf^1)/(delX)),((delf^2)/(delX)))$=$-((1/2,1/4),(-1/2,1/4))((1),(2))$=$-((1/2+1/2),(-1/2+1/2))$=$((-1),(0))$
La soluzione che si ottiene è pertanto: $(dY_1)/(dX)=-1$ e $(dY_2)/(dX)=0$, which makes sense!
Tornando al quesito, il punto è proprio nel fatto che, lasciando tutto com'è nelle due equazioni, la matrice Jacobiana non esiste; mentre invertendo il segno al termine in $Y_2$ della seconda equazione, il sistema assume un aspetto più facilmente manipolabile. Non fraintendere: non ho l'abitudine ad aggiustarmi le cose tanto per ****ttare i risultati...sto solo cercando di capire se il problema non sia dovuto semplicemente al tipico, malefico errore di "stompa" sul testo degli esercizi.
La matrice Jacobiana in $Y_1$ e $Y_2"$, dunque, esiste (con l'accorgimento del cambio di segno) ed è, nelle condizioni che definiscono l'equilibrio del sistema $X=1$, $(Y_1, Y_2)=(1, -1)$:
$((1,-1),(2Y_1,-2Y_2))$=$((1,-1),(2,2))$
La matrice Jacobiana è inoltre invertibile, essendo il suo determinante $|J|=2+2=4!=0$
A questo punto, la matrice 2x2 dei suoi cofattori è:
$C=((2,-2),(1,1))$, la cui matrice trasposta è $C'=((2,1),(-2,1))$
Si ottiene quindi la matrice inversa $J^-1$=$((1/2,1/4),(-1/2,1/4))$
Dall'applicazione del teorema quindi si ha, sempre mediante sostituzione delle variabili con i loro valori all'equilibrio:
$(((dY_1)/(dX)),((dY_2)/(dX)))$=$-J^-1(((delf^1)/(delX)),((delf^2)/(delX)))$=$-((1/2,1/4),(-1/2,1/4))((1),(2))$=$-((1/2+1/2),(-1/2+1/2))$=$((-1),(0))$
La soluzione che si ottiene è pertanto: $(dY_1)/(dX)=-1$ e $(dY_2)/(dX)=0$, which makes sense!
A me sembra che un equilibrio per il dato sistema sia \((1;0:0)\)...
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