Teorema delle contrazioni

[classeee]

Non riesco a capire un passaggio nella dimostrazione di questo teorema. Sono praticamente giunto a dimostrare che x(n+1)=T(x(n)) è una successione di Cauchy. Ora sapendo che lo spazio metrico è completo dico che la successione x(n) -> xsegnato.
Il passaggio che non riesco a capire è questo: perchè da x(n+1)=T(xn) posso arrivare a dire che xsegnato = T(xsegnato)? cioè perchè posso dire che se x(n)-> xsegnato allora anche x(n+1)->xsegnato e anche T(x(n))->T(xsegnato)?
Grazie per l'aiuto e scusate per la poca chiarezza...

[Inmytime]

T è una contrazione, quindi è continua. scegli un $epsilon$ come ti pare: allora, dato un $x_0$, per ogni $x$ in un intorno di raggio $epsilon$ di $x_0$ vale

$dist(T(x_0),T(x))

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[classeee]

e allora?

[Inmytime]

per ogni $epsilon>0$ esiste un indice $nu$ tale che per ogni $n>nu$

$dist(x_n,x_0)
dato che $x_n->x_0$. allora

$dist(T(x_n),T(x_0))
cioè $x_(n+1)=T(x_n)->T(x_0)$. dall'unicita del limite, $x_0=T(x_0)$. comunque è assodato che se T è una funzione continua definita in D e $x_n->x_0$ in D, allora $T(x_n)->T(x_0)$...