Teorema dell'Asintoto
Salve a tutti,
volevo sapere come si dimostra quello che talvolta viene chiamo teorema dell'asintoto per le funzioni uniformemente continue.
Il teorema è il seguente:
"sia data una funzione continua nell'intervallo [tex][a;+ \infty [[/tex] tale che [tex]\lim_{x \to +\infty}f(x)= l[/tex] con [tex]l \in R[/tex] allora essa è uniformemente continua nell'intervallo dato".
Comunque quella che cerco è una dimostrazione non eccessivamente elaborata, quindi senza strumenti avanzati (per quanto potenti) come la compattificazione di Alexandrov o simili. Grazie.
volevo sapere come si dimostra quello che talvolta viene chiamo teorema dell'asintoto per le funzioni uniformemente continue.
Il teorema è il seguente:
"sia data una funzione continua nell'intervallo [tex][a;+ \infty [[/tex] tale che [tex]\lim_{x \to +\infty}f(x)= l[/tex] con [tex]l \in R[/tex] allora essa è uniformemente continua nell'intervallo dato".
Comunque quella che cerco è una dimostrazione non eccessivamente elaborata, quindi senza strumenti avanzati (per quanto potenti) come la compattificazione di Alexandrov o simili. Grazie.
Risposte
Basta usare la definizione di limite e il teorema di Heine-Cantor.
Prova a vedere se ci riesci con queste informazioni.
Prova a vedere se ci riesci con queste informazioni.
Mi è venuta un'idea ma sembra talmente banale che o è orribilmente giusta o è tragicamente sbagliata..
Allora.. brevemente:
Ipotesi: [tex]x \in [a;+\infty[ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=l\,[/tex] con [tex]l \in R[/tex];
Tesi: [tex]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall x,y \in [a;+\infty[ \mid x-y \mid \leq \delta \Rightarrow \mid f(x)-f(y) \leq \epsilon[/tex]
Dim.: Partendo dalla definizione di limite abbiamo che:
[tex]\forall \epsilon_x>0 \exists M_x>0 : \forall x \in [a;+\infty[ x \geq M_x \Rightarrow \mid f(x)-l \mid \leq \epsilon_x[/tex]
[tex]\forall \epsilon_y>0 \exists M_y>0 : \forall y \in [a;+\infty[ x \geq M_y \Rightarrow \mid f(x)-l \mid \leq \epsilon_y[/tex]
si scelga [tex]M=max\{M_x, M_y\}[/tex] di modo che siano entrambe valide.
Ora, ragioniamo sull'implicazione della tesi:
[tex]\mid f(x)-f(y) \mid = \mid f(x)-l -f(y)+l \mid < \mid f(x)-l \mid + \mid f(y)-l \mid < \epsilon_x + \epsilon_y = \epsilon[/tex]
da cui se riusciamo a definire un [tex]\delta[/tex] per il quale x,y sono maggiori di M, allora abbiamo concluso.
Quindi:
[tex]\mid x-y \mid \Leftrightarrow \delta \leq x-y \leq \delta[/tex]
[tex]\delta+y \leq x \leq \delta+y[/tex]
[tex]M-\delta \leq \delta+y \leq x \leq M+\delta \leq \delta+y[/tex]
[tex]M-\delta < M \leq x \leq M+\delta[/tex]
Essendo [tex]\delta>0[/tex] per tutti gli [tex]x \in [M, M+\delta][/tex] vale l'implicazione. Ma essendo M arbitrariamente grande essa vale per [tex]x \in [M, +\infty[[/tex].
Per l'intervallo [tex][a, M][/tex] basta applicare Heine-Cantor.
Spero che sia giusta anche semplicemente per ripagarmi dei venti minuti usati per scrivere in maniera leggibile con latex..
Allora.. brevemente:
Ipotesi: [tex]x \in [a;+\infty[ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=l\,[/tex] con [tex]l \in R[/tex];
Tesi: [tex]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall x,y \in [a;+\infty[ \mid x-y \mid \leq \delta \Rightarrow \mid f(x)-f(y) \leq \epsilon[/tex]
Dim.: Partendo dalla definizione di limite abbiamo che:
[tex]\forall \epsilon_x>0 \exists M_x>0 : \forall x \in [a;+\infty[ x \geq M_x \Rightarrow \mid f(x)-l \mid \leq \epsilon_x[/tex]
[tex]\forall \epsilon_y>0 \exists M_y>0 : \forall y \in [a;+\infty[ x \geq M_y \Rightarrow \mid f(x)-l \mid \leq \epsilon_y[/tex]
si scelga [tex]M=max\{M_x, M_y\}[/tex] di modo che siano entrambe valide.
Ora, ragioniamo sull'implicazione della tesi:
[tex]\mid f(x)-f(y) \mid = \mid f(x)-l -f(y)+l \mid < \mid f(x)-l \mid + \mid f(y)-l \mid < \epsilon_x + \epsilon_y = \epsilon[/tex]
da cui se riusciamo a definire un [tex]\delta[/tex] per il quale x,y sono maggiori di M, allora abbiamo concluso.
Quindi:
[tex]\mid x-y \mid \Leftrightarrow \delta \leq x-y \leq \delta[/tex]
[tex]\delta+y \leq x \leq \delta+y[/tex]
[tex]M-\delta \leq \delta+y \leq x \leq M+\delta \leq \delta+y[/tex]
[tex]M-\delta < M \leq x \leq M+\delta[/tex]
Essendo [tex]\delta>0[/tex] per tutti gli [tex]x \in [M, M+\delta][/tex] vale l'implicazione. Ma essendo M arbitrariamente grande essa vale per [tex]x \in [M, +\infty[[/tex].
Per l'intervallo [tex][a, M][/tex] basta applicare Heine-Cantor.
Spero che sia giusta anche semplicemente per ripagarmi dei venti minuti usati per scrivere in maniera leggibile con latex..
"Ehm..":
Dim.: Partendo dalla definizione di limite abbiamo che:
[tex]\forall \epsilon_x>0 \exists M_x>0 : \forall x \in [a;+\infty[ x \geq M_x \Rightarrow \mid f(x)-l \mid \leq \epsilon_x[/tex]
[tex]\forall \epsilon_y>0 \exists M_y>0 : \forall y \in [a;+\infty[ x \geq M_y \Rightarrow \mid f(x)-l \mid \leq \epsilon_y[/tex]
Qui è superfluo scrivere la definizione due volte
"Ehm..":
da cui se riusciamo a definire un [tex]\delta[/tex] per il quale x,y sono maggiori di M, allora abbiamo concluso.
Quindi:
[tex]\mid x-y \mid \Leftrightarrow \delta \leq x-y \leq \delta[/tex]
[tex]\delta+y \leq x \leq \delta+y[/tex]
[tex]M-\delta \leq \delta+y \leq x \leq M+\delta \leq \delta+y[/tex]
[tex]M-\delta < M \leq x \leq M+\delta[/tex]
Non c'è bisogno di determinare $delta$, poiché $AA x , y in [M , +oo )$ si ha $|f(x) - f(y) | < epsilon$.
Non mi è molto chiara questa parte.
La strada comunque è corretta. Ricapitolando:
1) Hai provato che $AA x , y > M$ , $|f(x) - f(y) | < epsilon$ (così hai sistemato l'uniforme continuità in un intorno di $+oo$)
2) Dopodiché, giustamente, da Heine-Cantor applicato su $[a, M]$ discende l'uniforme continuità di $f$ su $[a,M]$.
Ora devi trovare un $delta$ che vada bene su tutto $[a, +oo)$ e non solo separatamente su $[a,M]$ e su $[M,+oo)$.
Beh questa parte si dovrebbe ricavare direttamente dalla definizione di continuità. Basta scegliere [tex]\delta=min\{\delta_1,\delta_2\}[/tex] dove il primo appartiene al primo intervallo e il secondo al secondo.
Ponendo [tex]\epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon/2[/tex] si ottiene facilmente che [tex]\forall x,y \in [a,+\infty[ : \mid x-y \mid < \delta \Rightarrow \mid f(x)-f(y) \mid < \epsilon[/tex].
Ponendo [tex]\epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon/2[/tex] si ottiene facilmente che [tex]\forall x,y \in [a,+\infty[ : \mid x-y \mid < \delta \Rightarrow \mid f(x)-f(y) \mid < \epsilon[/tex].
C'è un piccolo dettaglio di cui tener conto: potresti avere $x\in [a,M]$ mentre $y\in(M,+\infty)$, che dunque non sono direttamente confrontabili usando una delle due stime.
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