Teorema della proiezione

[galois23]

Ciao Ragazzi. Spero mi possiate aiutare. Sto studiando la teoria della misurabilità di multifunzioni e mi trovo un teorema (non dimostrato), detto teorema della proiezione.

Esso dice:

Sia \(\displaystyle (\Omega, \Sigma) \) uno spazio misurabile e sia \(\displaystyle X \) uno spazio di Souslin. Se \(\displaystyle G \in \Sigma \times \mathcal{B(X)} \), con \(\displaystyle \, \mathcal{B(X)} \) \(\displaystyle \, \sigma-\)algebra di Borel, allora \(\displaystyle proj_\Omega G \in \Sigma\).

Mi potete definire formalmente la proiezione su \(\displaystyle \Omega \) di \(\displaystyle G \)?

Grazie in anticipo.
(Ho fatto una ricerca su internet di questo teorema, ma sembra uscito dal cilindro della mia prof.)

[Paolo902]

Hai provato a dare un'occhiata a Bogachev, Measure Theory, vol 2 - Cap. 1?

[gugo82]

"A occhio", direi che:
\[
\operatorname{proj}_\Omega G := \{\omega\in \Omega:\ \exists x\in X:\ (\omega ,x)\in G\}\; ,
\]
ti pare?
In altre parole, \(\operatorname{proj}_\Omega G\) è l'immagine di \(G\) rispetto all'operatore di proiezione di \(\Omega \times X\) su \(\Omega\), cioé rispetto a:
\[
\begin{split} \operatorname{proj}_\Omega: \Omega \times X &\to \Omega\\
(\omega ,x) &\mapsto \omega\; .
\end{split}
\]