Teorema della permanenza del segno

[thedarkhero]

Sia $A:RR^n->M_n(RR)$ una funzione continua e limitata.
Considero $f(t,y)="det"(I+tA(y))$.
Per $t=0$ ho che $f(0,y)=1>0$ per ogni $y \in RR^n$.
Vorrei mostrare che esiste $\epsilon \in RR^+$ tale che $\f(t,y)>0$ per ogni $y \in RR^n$ per ogni $t \in [0,\epsilon]$.
Avevo pensato al teorema della permanenza del segno ma il fatto che $f$ dipenda anche da $y$ oltre che da $t$ mi sta facendo confusione.
Come posso procedere?

[otta96]

Prova così, esiste un intorno della matrice $0$ in cui per ogni elemento $B$, si ha che $I+B$ è invertibile, quindi $I+B$ ha determinante positivo per la permanenza del segno e per $\epsilon$ abbastanza piccolo l'immagine di $A$ sta in quest'intorno.

[otta96]

Ho fatto due imprecisioni: $I+B$ ha determinente positivo per il teorema degli zeri (o dei valori intermedi) e l'immagine che intendevo è quella di $[0,\epsilon]\timesRR^n$ tramite $(t,y)\mapsto tA(y)$.

[thedarkhero]

La seconda precisazione mi è chiara, per quanto riguarda la prima...perchè usi il teorema degli zeri e non quello della permanenza del segno?

[otta96]

Perchè intendo che dato che sono tutte invertibili hanno tutte determinante non nullo, e una ce l'ha positivo, quindi non ce ne può essere una con determinante negativo appunto per il teorema degli zeri.

[thedarkhero]

Non potrei invece ragionare analogamente per concludere che siccome la matrice identità ha determinante positivo allora esiste un intorno $(-\epsilon,\epsilon)$ tale per cui $f(t,y)>0$ per ogni $y \in RR^n$ e per ogni $t \in (-\epsilon,\epsilon)$ per il teorema della permanenza del segno?

[otta96]

Per il teorema della permanenza del segno quella cosa varrebe solo per un intorno di $(0,I)$, mentre te vuoi che valga $AAy\inRR^n$.

[thedarkhero]

Grazie mille!