Teorema della media integrale

[anto_zoolander]

sia $f$ una funzione definita e continua in un certo chiuso $[a,b]subsetRR$, allora esiste:

$f(q)incod(f):f(q)(b-a)=int_{a}^{b}f(x)dx$

Ora la domanda è la seguente:

La continuità è una condizione utile solo al soddisfacimento dei teoremi:
weierstrass, valori intermedi
oppure c'è anche altro?
Se non sbaglio una funzione, se ha un numero finito di discontinuità, è integrabile secondo Riemann(se non sbaglio).

[orsoulx]

Ho qualche dubbio sulla questione che proponi. Comunque, a mio avviso, la continuità è condizione sufficiente, anche se non necessaria, tanto per l'esistenza del secondo membro dell'uguaglianza, quanto per quella di $ q $.
Ciao
B.

[dissonance]

Ma il teorema è falso senza ipotesi di continuità. Pensa alla funzione \[f(x)=\begin{cases} 1, & x\ge 0 \\ -1, & x<0 \end{cases}\]

[anto_zoolander]

"dissonance":Ma il teorema è falso senza ipotesi di continuità. Pensa alla funzione \[f(x)=\begin{cases} 1, & x\ge 0 \\ -1, & x<0 \end{cases}\]

Aspetta però non rispetta l'ipotesi che la funzione appartenga ad un chiuso.
Di fatti hai scelto

$]-infty,+infty[$ che non è esattamente un chiuso.

"orsoulx":Ho qualche dubbio sulla questione che proponi. Comunque, a mio avviso, la continuità è condizione sufficiente, anche se non necessaria, tanto per l'esistenza del secondo membro dell'uguaglianza, quanto per quella di $ q $.
Ciao
B.

A mio parere invece è anche necessaria. Altrimenti non potrei usare i due teoremi che ho citato.
Io ho avuto questa dimostrazione:

consideriamo $f(x)=y$ continua in $x in[a,b], b>a$

In questo intervallo $f$ è continua per ipotesi e quindi ha minimo e massimo per il teorema di weierstrass.

$mleqf(x)leqM$

Adesso si integra tutto nell'intervallo $[a,b]$

$m(b-a)leqint_{a}^{b}f(x)dxleqM(b-a)$

Naturalmente si nota che l'area $M(b-a)$ maggiora l'area sottesa da $f$ e $m(b-a)$ la minora. Ed essendo $b>a$ possiamo dividere tutto per questa quantità.

$mleq(int_{a}^{b}f(x)dx)/(b-a)leqM$

Adesso chiamando $(int_{a}^{b}f(x)dx)/(b-a)=z$ per il teorema dei valori intermedi, deve essere:

$forallz|mleqzleqMexistsq in[a,b]|f(q)=z$

Quindi

$(int_{a}^{b}f(x)dx)/(b-a)=f(q) <=> int_{a}^{b}f(x)dx=f(q)(b-a)$

Il chiarimento era solo sul fatto, se la dimostrazione necessitasse della continuità anche per altro, oltre che per l'applicazione dei due teoremi.

[orsoulx]

Mah! A me insegnarono che se una condizione, oltre ad essere sufficiente, è anche necessaria, allora è vero pure il teorema inverso. Dovrei allora dedurre che, ad esempio, la funzione mantissa è continua in tutti gli intervalli $ [a,b] $ con $ b-a>=1 $.
Certo la condizione di continuità non si può buttare e basta. Però, mi pare, si possa sostituire con qualcosa di più debole, ad esempio l'integrabilità, a patto che l'immagine di $ [a,b] $ sia un intervallo di reali.
Ciao
B.

[dissonance]

@anto: intendevo dire che la funzione va considerata su un intervallo simmetrico, $[-1, 1]$ ad esempio.

@orsoulx: certo, se vuoi solo l'esistenza di entrambi i membri della formula basta assumere che la funzione sia integrabile, ma in quel caso il teorema è falso.

[orsoulx]

"dissonance": se vuoi solo l'esistenza di entrambi i membri della formula basta assumere che la funzione sia integrabile, ma in quel caso il teorema è falso.

Senza alcun spirito polemico, ma solo per desiderio di apprendere, ho scritto

"orsoulx":Però, mi pare, si possa sostituire con qualcosa di più debole, ad esempio l'integrabilità, a patto che l'immagine di $ [a,b] $ sia un intervallo di reali.

Mi potresti fornire un controesempio?
Ciao e grazie
B.

[dissonance]

Nessuno spirito polemico, figurati. Hai ragione, non avevo ben compreso il tuo primo post. La proprietà del valor medio da sola (insieme ovviamente all'integrabilità) è sufficiente a far girare la stessa dimostrazione.