Teorema della mappa aperta per operatori limitati

[dissonance]

Ormai è diventato un classico: arrivata quest'ora non connetto più. Meno male che c'è il forum sempre pronto a farmelo notare !

L'argomento del giorno è il teorema della mappa aperta per operatori limitati tra spazi di Banach. Lo enuncio:

se $Lambda:X\toY$ è operatore limitato suriettivo, $X, Y$ sono spazi di Banach e $U, V$ denotano le rispettive palle aperte unitarie, allora esiste $delta>0$ tale che $deltaV\subLambda(U)$. Segue che $Lambda$ è una mappa aperta.[/list:u:oix10ef7]

Questo teorema si può anche interpretare come un controllo sulle soluzioni dell'equazione $Lambdax=y$ rispetto alla norma di $y$.
Possiamo infatti dire che, nelle ipotesi precedenti, $\forally\inY, ||y|| (1).

Questa è quindi una specie di "dipendenza continua dai dati iniziali", credo di intuire. Mi chiedo, a questo scopo: e se prendiamo una $y$ la cui norma sia esattamente $delta$, possiamo trovare una soluzione $x$ di $Lambdax=y$ , con $||x||<=1$?

In parole povere, la (1) vale anche con il segno di $<=$?

Dopo un po' di scervellamenti, sarei portato a dire che la risposta è no, a meno che $Lambda$ non sia bigettiva. Ma trovare un esempio è veramente una parola...

[gugo82]

Insomma vorresti provare che $delta\bar(V)\subseteq Lambda(\bar(U))$...

Beh, passando alla chiusura nella tesi del teorema trovi $delta\bar(V)\subseteq \bar(Lambda(U))$, quindi ti basterebbe provare che $\bar(Lambda(U))\subseteq Lambda(\bar(U))$; quest'ultima cosa forse è un po' delicata (perchè in generale $\bar(U)$ non è compatto).
Vedi un po' che riesci a cavarne.

[dissonance]

Sono contento che non ci sia una risposta totalmente banale, come temevo ieri sera! Dunque, tu mi consigli di fare un discorso di chiusura e siamo d'accordo. Vogliamo quindi dimostrare che $bar{Lambda(U)}\subeLambda(bar{U})$.

Dalla topologia mi ricordo che, essendo $Lambda$ una mappa continua, allora $Lambda(bar{U})\subbar{Lambda(U)}$.

Quindi quello che dovremmo mostrare è che $Lambda(bar{U})=bar{Lambda(U)}$.

Ma da qui seguirebbe (per linearità) che $Lambda$ commuta con l'operazione di chiusura (questo bisogna mostrarlo, ma a intuito mi pare vero). E adesso, non mi ricordo:

Una mappa continua che commuta con la chiusura è necessariamente un omeomorfismo?

[gugo82]

In realtà credo che tutto dipenda da com'è costruito $delta$ (ora non ricordo la dimostrazione del teorema).

Se $deltaV$ non tocca il bordo di $Lambda(U)$, non hai nessun problema a dire che $delta\bar(V) \subseteq Lambda(U)$; i problemi sorgono quando $delta\bar(V)$ tocca il bordo di $Lambda(U)$.
Casomai ci penso un po' oggi...