Teorema della funzione implicita (ulisse dini)
In questo esercizio mi chiede data $f(x,y)=x^6-y^6+x^2+y^2+x^2y^2$ di trovare tutti i c reali per cui esistono punti $P_c$ tali che $f(P_c)=c$ e in un intorno dei quali l'equazione $f(x,y)=c$ non definisce implicitamente né una funzione y=y(x) né una funzione x=x(y).
Io ho trovato che nei punti $(0,0), (0,3^(1/4),(0,3^(-1/4))$ non valgono le ipotesi del teorema di Ulisse Dini, quindi i punti in cui potrebbe non essere definita implicitamente nessuna delle due funzioni sono questi.
Il mio problema è che adesso non so come proseguire, poiché il teorema di ulisse dini dà una condizione necessaria, ma non sufficiente per l'esplicitabilità. Come faccio a dire se negli intorni di questi tre punti si può definire implicitamente una funzione della sola y o x?
Io ho trovato che nei punti $(0,0), (0,3^(1/4),(0,3^(-1/4))$ non valgono le ipotesi del teorema di Ulisse Dini, quindi i punti in cui potrebbe non essere definita implicitamente nessuna delle due funzioni sono questi.
Il mio problema è che adesso non so come proseguire, poiché il teorema di ulisse dini dà una condizione necessaria, ma non sufficiente per l'esplicitabilità. Come faccio a dire se negli intorni di questi tre punti si può definire implicitamente una funzione della sola y o x?
Risposte
"Søren":
Come faccio a dire se negli intorni di questi tre punti si può definire implicitamente una funzione della sola y o x?
La condizione $(partialf)/(partialy)(x_o,y_o)ne0$ assicura che la funzione $f(x,y)=0$ definisce implicitamente una funzione $y=varphi(x)$, che è anche derivabile. Pur risultando $varphi(x_o)=y_o$, si ha che $varphi(x)=y$ anche per valori prossimi a $x_o,y_o$; pertanto si dice che ciò accade localmente.
@Magma: leggi meglio la domanda, per favore. Qui si tratta di stabilire che in quei punti NON si può costruire una funzione implicita.
@dissonance: Sì, ma la domanda finale mi sembra un'altra 
Intanto vorrei dire che è un bell'esercizio, di quelli che non ti scordi facilmente.
Ti faccio il punto $(0,0)$: quello che vogliamo dimostrare è che per ogni intorno di $0$ di questo tipo $[-a,a]\times[-b,b],a,b>0$ è falso che $AAx\in[a,b]EE!y\in[c,d]$ t.c. $f(x,y)=f(0,0)=0$ e una cosa analoga con la $x$ e la $y$ scambiate, ma se noti la $f$ ha una certa simmetria, ovvero $f(x,y)=f(+-x,+-y)$, quindi dato un $x\in[-a,a]$ si ha che un certo $y\in[-b,b]$ soddisfa $f(x,y)=0<=>f(x,-y)=0$ quindi a meno che $AAx\in[-a,a]$ si ha $f(x,0)=0$, a nessuna ascisse può corrispondere una sola ordinata (o nessuna o almeno 2) e infatti così succede perché $f(x,0)=x^6+x^2!=0$ se $x!=0$.
Analogamente il discorso è analogo se le variabili sono scambiate sostanzialmente per lo stesso discorso e per l'osservazione che $f(0,y)=-y^6+y^2!=0$ se $y!=0$ e se $b<1$ (ma questo non è restrittivo perché a noi interessa per valori di $a$ e $b$ piccoli).
Prova a fare adesso da solo gli altri due casi (che tra l'altro hai scritto male, sono $(0,3^(-1/4))$ e $(0,-3^(-1/4))$) notando che sempre per la simmetria in realtà ti basta studiarne solo uno perché in quei punti la funzione avrà lo stesso valore e l'insieme di livello della funzione corrispondente a quel valore sarà simmetrico rispetto all'asse $x$.
In definitiva i $c$ che cercavi sono $0$ e il valori della funzione negli altri due punti.
Ti faccio il punto $(0,0)$: quello che vogliamo dimostrare è che per ogni intorno di $0$ di questo tipo $[-a,a]\times[-b,b],a,b>0$ è falso che $AAx\in[a,b]EE!y\in[c,d]$ t.c. $f(x,y)=f(0,0)=0$ e una cosa analoga con la $x$ e la $y$ scambiate, ma se noti la $f$ ha una certa simmetria, ovvero $f(x,y)=f(+-x,+-y)$, quindi dato un $x\in[-a,a]$ si ha che un certo $y\in[-b,b]$ soddisfa $f(x,y)=0<=>f(x,-y)=0$ quindi a meno che $AAx\in[-a,a]$ si ha $f(x,0)=0$, a nessuna ascisse può corrispondere una sola ordinata (o nessuna o almeno 2) e infatti così succede perché $f(x,0)=x^6+x^2!=0$ se $x!=0$.
Analogamente il discorso è analogo se le variabili sono scambiate sostanzialmente per lo stesso discorso e per l'osservazione che $f(0,y)=-y^6+y^2!=0$ se $y!=0$ e se $b<1$ (ma questo non è restrittivo perché a noi interessa per valori di $a$ e $b$ piccoli).
Prova a fare adesso da solo gli altri due casi (che tra l'altro hai scritto male, sono $(0,3^(-1/4))$ e $(0,-3^(-1/4))$) notando che sempre per la simmetria in realtà ti basta studiarne solo uno perché in quei punti la funzione avrà lo stesso valore e l'insieme di livello della funzione corrispondente a quel valore sarà simmetrico rispetto all'asse $x$.
In definitiva i $c$ che cercavi sono $0$ e il valori della funzione negli altri due punti.
@otta: hai dimostrato che la soluzione \((0,0)\) dell'equazione \(f(x, y)=0\) è isolata, e difatti questo è vero:
(il punto \((0,0)\) non viene nemmeno disegnato perché il software non lo riconosce con i suoi calcoli numerici).
(il punto \((0,0)\) non viene nemmeno disegnato perché il software non lo riconosce con i suoi calcoli numerici).
Quindi, vediamo se ho capito bene. Per il punto $(0,3^(-1/4))$ prendo un suo intorno $[-a,a]x[-b,b]$. Prendo x in [-a,a], poiché $f(x,y)-c=0$ sse $f(x,-y)-c=0$, quindi ad ogni x appartenente all'intorno corrispondono due y distinte e di conseguenza y=y(x) non sarebbe una funzione. Faccio la stessa cosa prendendo y in [-b,b] intorno di $(3)^(-1/4)$ e ottengo che ad ogni y dell'intorno corrispondono due x distinte, quindi nemmeno x=x(y) sarebbe una funzione. Di conseguenza nell'intorno di questo punto la funzione f(x,y)=c non è esplicitabile né rispetto ad x, né rispetto ad y.
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