Teorema della funzione implicita
Buonasera. Sto facendo temi esame di analisi 2 e ho trovato un quesito sul teorema della funzione implicita. L'ho risolto, ma ho un dubbio sulla prima domanda.
Ecco il quesito.
Si vuole riscrivere la funzione [tex]2x^{51} + \sinh(y+x^2+y^2) + \ln(e+x^2+y^2) = 1[/tex] in forma equivalente come [tex]y=\varphi(x)[/tex] in un intorno di [tex](0,0)[/tex].
Ho controllato le ipotesi del teorema di Dini (tutte valide), quindi la funzione implicita esiste in un intorno di [tex](0,0)[/tex] ed è unica.
Ho calcolato la derivata prima di [tex]\varphi[/tex] e ho notato che vale [tex]0[/tex] in [tex]x=0[/tex]. Per classificare il punto stazionario ho calcolato la derivata seconda e ne ho controllato il valore in [tex]x=0[/tex]. Essendo il valore negativo, il punto è di massimo relativo.
Poi, istintivamente, ho risposto alla prima domanda con "falso", perché il professore stesso ci aveva detto che ci sono moltissime funzioni per cui vale il teorema, ma che sono impossibili da esplicitare (ad esempio la funzione di questo tema esame). Quindi il teorema di Dini mi garantisce sì l'esistenza e l'unicità di una funzione [tex]y=\varphi(x)[/tex], ma non è detto che io possa scriverla in forma esplicita.
Eppure la risposta alla prima domanda era "vero". Può essere che io mi sia confuso o abbia inteso male il significato di "riscrivere la funzione in forma equivalente"?
Thanks in advance.
Ecco il quesito.
Si vuole riscrivere la funzione [tex]2x^{51} + \sinh(y+x^2+y^2) + \ln(e+x^2+y^2) = 1[/tex] in forma equivalente come [tex]y=\varphi(x)[/tex] in un intorno di [tex](0,0)[/tex].
- A) Per il teorema della funzione implicita, ciò è possibile.
B) In [tex]x=0[/tex] la funzione [tex]\varphi[/tex] ha un punto di massimo relativo.[/list:u:1jx65fhx]
Ho controllato le ipotesi del teorema di Dini (tutte valide), quindi la funzione implicita esiste in un intorno di [tex](0,0)[/tex] ed è unica.
Ho calcolato la derivata prima di [tex]\varphi[/tex] e ho notato che vale [tex]0[/tex] in [tex]x=0[/tex]. Per classificare il punto stazionario ho calcolato la derivata seconda e ne ho controllato il valore in [tex]x=0[/tex]. Essendo il valore negativo, il punto è di massimo relativo.
Poi, istintivamente, ho risposto alla prima domanda con "falso", perché il professore stesso ci aveva detto che ci sono moltissime funzioni per cui vale il teorema, ma che sono impossibili da esplicitare (ad esempio la funzione di questo tema esame). Quindi il teorema di Dini mi garantisce sì l'esistenza e l'unicità di una funzione [tex]y=\varphi(x)[/tex], ma non è detto che io possa scriverla in forma esplicita.
Eppure la risposta alla prima domanda era "vero". Può essere che io mi sia confuso o abbia inteso male il significato di "riscrivere la funzione in forma equivalente"?
Thanks in advance.
Risposte
Ciao Polcio,
Direi di sì. La A) ti dice in sostanza che è possibile, il che significa fare ciò che hai già fatto: controllare che siano verificate le ipotesi del teorema di Dini. Non c'è mica scritto che è possibile esplicitarla...
"Polcio":
Può essere che io mi sia confuso o abbia inteso male il significato di "riscrivere la funzione in forma equivalente"?
Direi di sì. La A) ti dice in sostanza che è possibile, il che significa fare ciò che hai già fatto: controllare che siano verificate le ipotesi del teorema di Dini. Non c'è mica scritto che è possibile esplicitarla...
In effetti sono ambiguità del linguaggio comune, si poteva interpretare secondo me come ha fatto Polcio, "riscrivere in forma $y=f(x)$" sembra dire che la scrivi proprio praticamente... pigli la penna e la scrivi.
Se fosse capitato a un esame, non so, io sarei andata a chiedere al professore di chiarire la domanda.
Se fosse capitato a un esame, non so, io sarei andata a chiedere al professore di chiarire la domanda.
Ciao gabriella127,
A livello puramente teorico sì, ma sinceramente guardando la funzione proposta mi sembra evidente l'intenzione di dissuadere chiunque dal provarci...
"gabriella127":
si poteva interpretare secondo me come ha fatto Polcio
"gabriella127":
Se fosse capitato a un esame, non so, io sarei andata a chiedere al professore di chiarire la domanda.
A livello puramente teorico sì, ma sinceramente guardando la funzione proposta mi sembra evidente l'intenzione di dissuadere chiunque dal provarci...
Hai ragione, terrificante 
.
Il fatto che però agli esami si è un po' rintronati, quindi è bene che i test non abbiano ambiguità. Per mia esperienza puriennale non è sempre facile per gli esaminatori fare test che siano sempre chiarissimi, ci vuole impegno e possono sfuggire comunque delle cose.
.Il fatto che però agli esami si è un po' rintronati, quindi è bene che i test non abbiano ambiguità. Per mia esperienza puriennale non è sempre facile per gli esaminatori fare test che siano sempre chiarissimi, ci vuole impegno e possono sfuggire comunque delle cose.
Grazie a tutti. Se mi capiterà mai una situazione del genere chiederò chiarimento al professore.
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