Teorema della divergenza in R^n
Sto proseguendo lo studio delle distribuzioni di Schwartz, ora mi sto concentrando sull'argomento "derivate". Allo scopo mi serve una formula di integrazione per parti in dimensione $n$; sul solito Gilardi Analisi 3 questa viene ricavata dal Teorema della divergenza:
Il problema è che, per me, questa formula ha senso solo in $RR^3$. La prima domanda a cui non so rispondere è:
1) Che cosa significa $"div"f$ per una funzione $RR^n\toRR^n$?
$int_Omegaf(x)"d"x=int_{delOmega}f(x)*nu(x)"d"s$
ove $Omega$ è un aperto regolare in $RR^n$, $f$ è una funzione regolare in $bar{Omega}$ a valori in $RR^n$, e $nu$ è la normale esterna.
Il problema è che, per me, questa formula ha senso solo in $RR^3$. La prima domanda a cui non so rispondere è:
1) Che cosa significa $"div"f$ per una funzione $RR^n\toRR^n$?
Risposte
Bè, credo tu possa vederla così: se definisci l'operatore
$\nabla=\sum_{k=1}^n e_k\cdot \frac{\partial}{\partial x^k}$ (con $e_k$ indico i vettori della base canonica di $RR^n$).
allora data una qualsiasi funzione vettoriale $F=(F_1,\ldots, F_n)$ con $F_k=F_k(x_1,\ldots,x_n)$ da $RR^n$ in se stesso, puoi definire la divergenza come
$d i v (F)=\nabla\cdot F=\sum_{k=1}^n \frac{\partial F_k}{\partial x^k}$.
Del resto questa è la definizione immediata di divergenza di un campo che si fa in geometria differenziale, quando la varietà $M$ coincide con $RR^n$ (o un suo aperto).
$\nabla=\sum_{k=1}^n e_k\cdot \frac{\partial}{\partial x^k}$ (con $e_k$ indico i vettori della base canonica di $RR^n$).
allora data una qualsiasi funzione vettoriale $F=(F_1,\ldots, F_n)$ con $F_k=F_k(x_1,\ldots,x_n)$ da $RR^n$ in se stesso, puoi definire la divergenza come
$d i v (F)=\nabla\cdot F=\sum_{k=1}^n \frac{\partial F_k}{\partial x^k}$.
Del resto questa è la definizione immediata di divergenza di un campo che si fa in geometria differenziale, quando la varietà $M$ coincide con $RR^n$ (o un suo aperto).
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