Teorema Della Divergenza applicato al Rotore
Buona serata a tutti i membri del forum 
Volevo sottoporvi un mio ragionamento sicuramente sbagliato, in cui però non riesco a trovare l'errore. Nelle giuste ipotesi posso usare il teorema della Divergenza per calcolare il flusso di un campo vettoriale F attraverso una superficie chiusa E, e risulta uguale all'integrale di Div F esteso al volume racchiuso dalla superficie. Allora mi sono chiesto: posso usare questo teorema nel caso in cui il mio campo F sia il rotore di un altro campo? (chiamiamo questo secondo campo G, e mettiamoci nell'ipotesi in cui Rot G sia diverso da 0).A questo punto risulta, sempre per il teorema della divergenza, che il flusso di Rot G(cioè F) attraverso E è uguale alla divergenza di Rot G nel volume racchiuso. Ma da quanto mi risulta la divergenza del rotore di un campo è sempre 0...invece il flusso del rotore è in generale diverso da 0...qualcosa non torna ^^
Ringrazio in anticipo chiunque mi dedichi un po' del suo tempo e vi prego di scusarmi per la non corretta formattazione del testo, vedrò di imparare al più presto come fare!
Volevo sottoporvi un mio ragionamento sicuramente sbagliato, in cui però non riesco a trovare l'errore. Nelle giuste ipotesi posso usare il teorema della Divergenza per calcolare il flusso di un campo vettoriale F attraverso una superficie chiusa E, e risulta uguale all'integrale di Div F esteso al volume racchiuso dalla superficie. Allora mi sono chiesto: posso usare questo teorema nel caso in cui il mio campo F sia il rotore di un altro campo? (chiamiamo questo secondo campo G, e mettiamoci nell'ipotesi in cui Rot G sia diverso da 0).A questo punto risulta, sempre per il teorema della divergenza, che il flusso di Rot G(cioè F) attraverso E è uguale alla divergenza di Rot G nel volume racchiuso. Ma da quanto mi risulta la divergenza del rotore di un campo è sempre 0...invece il flusso del rotore è in generale diverso da 0...qualcosa non torna ^^
Ringrazio in anticipo chiunque mi dedichi un po' del suo tempo e vi prego di scusarmi per la non corretta formattazione del testo, vedrò di imparare al più presto come fare!
Risposte
E' che ragioni al contrario.
Condizione per poter scrivere un campo $\bbF$ come rotore di un altro campo $\bbG$ è che $\bbF$ sia solenoidale; infatti:
Se il campo non fosse solenoidale, avresti che $\nabla*\bbF!=0$, quindi se scrivessi $\bbF=\nablaxx\bbG$ otterresti:
da cui deduci che non è possibile.
In altre parole, se $\bbF=\nablaxx\bbG$, allora $\bbF$ è solenoidale, quindi per il teorema della divergenza il flusso è nullo.
Condizione per poter scrivere un campo $\bbF$ come rotore di un altro campo $\bbG$ è che $\bbF$ sia solenoidale; infatti:
$\nabla*\bbF=0->\nabla*(\nablaxx\bbG)=0$.
Se il campo non fosse solenoidale, avresti che $\nabla*\bbF!=0$, quindi se scrivessi $\bbF=\nablaxx\bbG$ otterresti:
$\nabla*\bbF!=0->\nabla*(\nablaxx\bbG)=0$,
da cui deduci che non è possibile.
In altre parole, se $\bbF=\nablaxx\bbG$, allora $\bbF$ è solenoidale, quindi per il teorema della divergenza il flusso è nullo.
Grazie mille per l'aiuto Gabriele!!
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