Teorema della divergenza

[quirino2]

Salve, ho un problema nell'applicare il teorema della divergenza in questo caso:
ho il seguente campo vettoriale

[tex]F=(y,-x, z^3[/tex]
e voglio calcolarne il flusso attraverso la sfera di centro l'origine e raggio 1 che ha la seguente parametrizzazione

[tex]S= (x =sin \phi cos \theta, y= sin \phi sin \theta, z= cos \phi), 0 \leq \phi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2 \pi[/tex]
se applico il teorema della divergenza trovo che

[tex]\int{divF\ dV}= \int{3z^2 dV} = \int{\int{\int{3z^2 \rho^2 sin \phi d\rho d\theta d\phi}}}[/tex]
ma al posto della zeta nell'integrale devo mettere soltanto [tex]cos \phi[/tex] oppure [tex]\rho cos \phi[/tex] ?
Grazie mille dell'aiuto ....

[dissonance]

Cosa c'è scritto più su? $z=cos phi$. Quindi devi metterci $cos phi$. Gli altri termini origineranno da $dV$, che in coordinate sferiche non mi ricordo come diventa ( ). Vedo però che tu hai scritto $dV=rho^2sin phi drho dtheta dphi$, che mi pare giusto.

[quirino2]

Però il mio dubbio si orgina dal fatto che [tex]z= cos \phi[/tex] se e solo se sono sulla sfera di raggio uno e centro l'origine, il campo vettoriale che ho esiste in tutti i punti di R3, quindi per qualsiasi [tex]\rho[/tex], poi al più quando lo vado ad integrare integro tra 0 ed 1 (che è appunto il raggio della mia sfera).
Comunque mi fido

[quirino2]

tra l'altro facendo una ricerca su google ho trovato proprio il mio esercizio (che buffo) e lo svolgimento dà ragione a me (Esercizio n. 3)

[url]http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Rnl--3-nCpYJ:dm.ing.unibs.it/~riccarda.rossi/Teaching/esercizi%2520svolti%2520aa.%25202009-2010/flussi%26Gauss%26Stokes.pdf+torema+della+divergenza+esercizi+svolti&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESjq9yOws2nZw9U_kSAyk358C7-jXakZsbmdi-1PkFsseIJJhjVegNslLwbtobMll008BKJQe8PSrvTgT8wbFoBxZJ6KR4saeop52x91GYvTrq6MnGSDim_e5Be1td4_rcH-SwU1&sig=AHIEtbSfO10UBos_EBcx2K56h66mQb-AGA[/url][/url]

[Rigel1]

Nell'integrale di volume devi mettere $z=\rho \cos\phi$.

[quirino2]

"Rigel":Nell'integrale di volume devi mettere $z=\rho \cos\phi$.

grazie mille

[dissonance]

Quindi ho detto una stupidaggine. Ottimo! Ti chiedo scusa e mi ritiro per capire bene che cosa ho combinato.

[quirino2]

ho fatto anche il conto al mano del campo sulla superficie (ovvero prodotto scalare del campo per il versore normale alla sfera di raggio 1) e torna (e vi consiglio di non farlo perchè sono veramente una barca di conti ...)

[gugo82]

@dissonance: Se l'integrale è di volume, è chiaro che non puoi buttarci dentro solo gli [tex]$z$[/tex] che stanno sulla frontiera.

[dissonance]

E si. E' vero che stiamo calcolando il flusso ma attraverso il teorema della divergenza, quindi l'integrale è di volume. M'era proprio sfuggito. Grazie.