Teorema della divergenza
Salve a tutti, devo parametrizzare questa superficie per utilizzare il teorema della divergenza ma ho dei problemi: $ z²=(x-1)²+y², 0≤z≤2 $
Questo é un cono di vertice $ (1,0,0) $ in cui $ Z $ corrisponde all'altezza del cono stesso, dico bene?
La parametrizzazione fatta é la seguente:
Superficie laterale: $ x=1+\rhocosø, y=\rhosinø, Z=\rho $
Base: $ x=1+\rhocosø, y=\rhosinø, Z=2 $
Non riesco a capire perché la base del cono si trova sul piano $ Z=2 $ e non nel piano $ Z=0 $ e perché $ \rho $ (in $ x $ e $ y $ ) varia e non é un fissato visto che nell'equazione c é $ z²=(x-1)²+y² $ e non $ ≤ $.
Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a capire? Grazie a tutti.
Questo é un cono di vertice $ (1,0,0) $ in cui $ Z $ corrisponde all'altezza del cono stesso, dico bene?
La parametrizzazione fatta é la seguente:
Superficie laterale: $ x=1+\rhocosø, y=\rhosinø, Z=\rho $
Base: $ x=1+\rhocosø, y=\rhosinø, Z=2 $
Non riesco a capire perché la base del cono si trova sul piano $ Z=2 $ e non nel piano $ Z=0 $ e perché $ \rho $ (in $ x $ e $ y $ ) varia e non é un fissato visto che nell'equazione c é $ z²=(x-1)²+y² $ e non $ ≤ $.
Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi a capire? Grazie a tutti.
Risposte
Ciao Manox,
Sì, ma perché usi $Z$ maiuscolo invece della $z$ minuscola? Alla luce di questo perché
L'hai scritto tu prima che il vertice è nel punto $(1,0,0)$, per cui la base deve essere giocoforza quell'altra che si ha per $z = 2$. D'altronde per $z = 0 $ si ha una somma di quadrati che può essere nulla solo se $x - 1 = 0 $ e $y = 0 $, che porge proprio il punto $V(1,0,0)$ che hai già citato che è il vertice del cono.
Beh, se $z = \rho $ è chiaro che $\rho $ varia... Prova a pensare di sezionare il cono a diverse altezze comprese fra $0$ e $2$: otterrai circonferenze aventi raggio diverso.
"Manox":
Questo é un cono di vertice $(1,0,0)$ in cui $Z$ corrisponde all'altezza del cono stesso, dico bene?
Sì, ma perché usi $Z$ maiuscolo invece della $z$ minuscola? Alla luce di questo perché
"Manox":
Non riesco a capire perché la base del cono si trova sul piano $Z=2$ e non nel piano $Z=0$
L'hai scritto tu prima che il vertice è nel punto $(1,0,0)$, per cui la base deve essere giocoforza quell'altra che si ha per $z = 2$. D'altronde per $z = 0 $ si ha una somma di quadrati che può essere nulla solo se $x - 1 = 0 $ e $y = 0 $, che porge proprio il punto $V(1,0,0)$ che hai già citato che è il vertice del cono.
"Manox":
perché $\rho $ (in $x$ e $y$) varia e non é un fissato visto che nell'equazione c'é $z²=(x−1)²+y²$ e non $≤$.
Beh, se $z = \rho $ è chiaro che $\rho $ varia... Prova a pensare di sezionare il cono a diverse altezze comprese fra $0$ e $2$: otterrai circonferenze aventi raggio diverso.
Grazie dell'aiuto, quindi quello che ho é un cono "capovolto", giusto?
Sono d'accordo che $ \rho $ in $ z $ debba variare ma quando parametrizzo $ x $ e $ y $ non dovrebbe essere fissato visto che il volume é descritto tramite equazione? Non dovrei prendere solo il bordo? Facendo variare $ \rho $ non sto prendendo anche i punti interni che dovrebbero essere esclusi sempre perché il volume é descritto tramite equazione?
Sono d'accordo che $ \rho $ in $ z $ debba variare ma quando parametrizzo $ x $ e $ y $ non dovrebbe essere fissato visto che il volume é descritto tramite equazione? Non dovrei prendere solo il bordo? Facendo variare $ \rho $ non sto prendendo anche i punti interni che dovrebbero essere esclusi sempre perché il volume é descritto tramite equazione?
Manox, scusa la predica, ma penso che ti aiuterà più questo che altre risposte: dovresti essere più sicuro di te, acquistando più intuizione geometrica e cercando di capire più a fondo cosa stai facendo quando parametrizzi.
Perché pensi che "facendo variare $\rho$ sto prendendo anche i punti interni"? Cos'è $\rho$? È la distanza di un generico punto dal polo scelto per le coordinate polari. Ora, hai scelto come polo il vertice del cono nel piano $(x,y)$ (perché hai posto $x=1+\rho \cos \theta$ e $y=\rho \sin \theta$), quindi $\rho$ rappresenta la distanza di un generico punto del piano $(x,y)$ che obbedisce alle condizioni $x=1+\rho \cos \theta$ e $y=\rho \sin \theta$ dal polo $(1,0)$. Che punti sono questi? Sono punti su che, sul piano $(x,y)$, per definizione di coseno e seno giacciono su delle circonferenze di centro $(1,0)$ e raggio $\rho$. Dato che $z$ non è indipendente da $x$ e $y$ a causa della condizione $z^2=(x-1)^2+y^2$, segue che nello spazio puoi esprimere $z$ in funzione delle coordinate polari sul piano $(x,y)$: ossia $\rho=z$ e, dato che $z$ varia tra $0$ e $2$, a causa dell'uguaglianza $\rho=z$ anche $\rho$ varia tra $0$ e $2$.
Ossia, queste circonferenze aumentano di loro raggio $\rho$ al variare di $z$ tra $0$ e $2$ con una dipendenza lineare (che è, guarda caso, la pendenza delle sezioni "verticali" di cono: se tagli verticalmente un cono messo su un tavolo, vedi due rette). Come fanno, in questa situazione, ad essere descritti punti interni? Detto ancora più brutalmente: mettiti su un tavolo e pensa che il tavolo sia il piano $(x,y)$, prendi un cono con vertice in $(1,0,0)$ messo "in piedi", prendi il polo $(1,0)$ sul piano $(x,y)$ e pensa di proiettare sul piano $(x,y)$ i punti della superficie conica. La distanza $\rho$ di questi punti proiettati sul piano $(x,y)$ da $(1,0)$ è sempre la stessa? No, quindi anche $\rho$ varia nonostante i punti siano su una superficie. Che relazione c'è tra la distanza $\rho$ da $(1,0)$ e differenti quote $z$? All'aumentare della quota sulla superficie conica, la distanza da $(1,0)$ aumenta linearmente, in accordo con $z=\rho$.
Ci tengo a precisare che questo mio intervento non vuole scoraggiarti a fare altre domande simili, ma invogliarti ad approfondire l'intuizione geometrica così che tu sia indipendente il più possibile da noi.
Perché pensi che "facendo variare $\rho$ sto prendendo anche i punti interni"? Cos'è $\rho$? È la distanza di un generico punto dal polo scelto per le coordinate polari. Ora, hai scelto come polo il vertice del cono nel piano $(x,y)$ (perché hai posto $x=1+\rho \cos \theta$ e $y=\rho \sin \theta$), quindi $\rho$ rappresenta la distanza di un generico punto del piano $(x,y)$ che obbedisce alle condizioni $x=1+\rho \cos \theta$ e $y=\rho \sin \theta$ dal polo $(1,0)$. Che punti sono questi? Sono punti su che, sul piano $(x,y)$, per definizione di coseno e seno giacciono su delle circonferenze di centro $(1,0)$ e raggio $\rho$. Dato che $z$ non è indipendente da $x$ e $y$ a causa della condizione $z^2=(x-1)^2+y^2$, segue che nello spazio puoi esprimere $z$ in funzione delle coordinate polari sul piano $(x,y)$: ossia $\rho=z$ e, dato che $z$ varia tra $0$ e $2$, a causa dell'uguaglianza $\rho=z$ anche $\rho$ varia tra $0$ e $2$.
Ossia, queste circonferenze aumentano di loro raggio $\rho$ al variare di $z$ tra $0$ e $2$ con una dipendenza lineare (che è, guarda caso, la pendenza delle sezioni "verticali" di cono: se tagli verticalmente un cono messo su un tavolo, vedi due rette). Come fanno, in questa situazione, ad essere descritti punti interni? Detto ancora più brutalmente: mettiti su un tavolo e pensa che il tavolo sia il piano $(x,y)$, prendi un cono con vertice in $(1,0,0)$ messo "in piedi", prendi il polo $(1,0)$ sul piano $(x,y)$ e pensa di proiettare sul piano $(x,y)$ i punti della superficie conica. La distanza $\rho$ di questi punti proiettati sul piano $(x,y)$ da $(1,0)$ è sempre la stessa? No, quindi anche $\rho$ varia nonostante i punti siano su una superficie. Che relazione c'è tra la distanza $\rho$ da $(1,0)$ e differenti quote $z$? All'aumentare della quota sulla superficie conica, la distanza da $(1,0)$ aumenta linearmente, in accordo con $z=\rho$.
Ci tengo a precisare che questo mio intervento non vuole scoraggiarti a fare altre domande simili, ma invogliarti ad approfondire l'intuizione geometrica così che tu sia indipendente il più possibile da noi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo