Teorema della divergenza

[Manox]

Salve a tutti, ho un dubbio sul calcolo del flusso uscente dalla frontiera usando la definizione di flusso su questo dominio:
$ (y-1)²+z²≤1 , |x|≤1 $
Avrei il bordo della superficie parametrizzata nel modo seguente?
$ S1: x=-1, y=1+cosø, z= sinø $
$ S2: x=1, y=1+cosø, z= sinø $
$ S3: x=t, y=1+cosø, z= sinø $
Cioè dato che sto parametrizzando il bordo considero $ p $ (ro) uguale a 1 o devo indicare dove varia?
Ringrazio tutti per l'aiuto.

[Quinzio]

"Manox":Salve a tutti, ho un dubbio sul calcolo del flusso uscente dalla frontiera usando la definizione di flusso su questo dominio:
$ (y-1)²+z²≤1 , |x|≤1 $
Avrei il bordo della superficie parametrizzata nel modo seguente?
$ S1: x=-1, y=1+cosø, z= sinø $
$ S2: x=1, y=1+cosø, z= sinø $
$ S3: x=t, y=1+cosø, z= sinø $
Cioè dato che sto parametrizzando il bordo considero $ p $ (ro) uguale a 1 o devo indicare dove varia?
Ringrazio tutti per l'aiuto.

Si, certo. Devi indicare quali sono gli estremi entro cui devono stare le variabili.
La parametrizzazione corretta e' :

$ "S1":$
$ x=-1,$
$ y=1+\rho \cos \phi,$
$ z= \rho \sin \phi,$
$ \ \ 0 <= \rho <= 1, \ \ 0<= \phi <= 2\pi $

$ "S2":$
$ x=1,$
$ y=1+\rho \cos \phi,$
$ z= \rho \sin \phi,$
$ \ \ 0 <= \rho <= 1, \ \ 0<= \phi <= 2\pi $

$ "S3":$
$ x=t,$
$ y=1+\cos \phi,$
$ z= \sin \phi,$
$ \ \ -1 <= t <= 1, \ \ 0<= \phi <= 2\pi $

PS. Forse ho capito meglio la tua domanda.
Si tratta di un cilindro e secondo me questo non ti e' ben chiaro.
Per cui nelle due basi (che sono due cerchi), $\rho$ deve variare, mentre nella "fascia" laterale, $\rho$ e' fisso ad 1.

[Manox]

Ti ringrazio dell'aiuto, ho capito che é un cilindro, ma, dovendo parametrizzare il bordo, non mi é chiaro per quale motivo devo indicare dove varia $ p $ nelle due basi e nella fascia laterale no. Dato che devo parametrizzare il bordo $ p $ non dovrebbe essere fissato a 1? Non riesco a capire perché varia.

[Lebesgue]

"Manox":Ti ringrazio dell'aiuto, ho capito che é un cilindro, ma, dovendo parametrizzare il bordo, non mi é chiaro per quale motivo devo indicare dove varia $ p $ nelle due basi e nella fascia laterale no. Dato che devo parametrizzare il bordo $ p $ non dovrebbe essere fissato a 1? Non riesco a capire perché varia.

Pensa bene: essendo un cilindro, chi sono i suoi bordi? Sono i due cerchi ad $x=1$ e $x=-1$ e la superficie laterale.
Se nei due cerchi di base tu fissi $\rho=1$, non stai parametrizzando il cerchio, ma la circonferenza.

Il tuo insieme è un cilindro pieno , infatti è descritto tramite disequazioni; per cui il suo bordo è costituito da superfici (in maniera molto brutale, essendo il cilindro pieno è una cosa 3D, per cui il suo bordo sarà una cosa 2D, appunto delle superfici). Se fissi $\rho=1$ nei cerchi di base, stai parametrizzando delle curve (ovvero la circonferenza, cioè il bordo del cerchio)
Magari se provi a disegnare il cilindro e delle frecce uscenti (ovvero il campo) ti accorgi che le frecce passano attraverso i cerchi di base e non solo attraverso i loro bordi

[Manox]

Grazie, adesso ho capito la parametrizzazione corretta. Quindi se prendessimo questo altro esercizio ( questa volta devo applicare il teorema di Stokes) : $ y²+(z-1)²=4, 1≤x≤z $, per parametrizzare i cerchi considero $ p $ fissato (parametrizzando solo la circonferenza quindi) poiché nell'equazione c'è $ =4 $, se fosse stato $ ≤4 $ avrei dovuto specificare dove varia $ p $ ?

[Lebesgue]

"Manox":Grazie, adesso ho capito la parametrizzazione corretta. Quindi se prendessimo questo altro esercizio ( questa volta devo applicare il teorema di Stokes) : $ y²+(z-1)²=4, 1≤x≤z $, per parametrizzare i cerchi considero $ p $ fissato (parametrizzando solo la circonferenza quindi) poiché nell'equazione c'è $ =4 $, se fosse stato $ ≤4 $ avrei dovuto specificare dove varia $ p $ ?

Esattamente, perché in questo caso il cilindro è vuoto, non stai prendendo anche l'interno, per cui il suo bordo è fatto unicamente dalle circonferenze dei due "tappi".
D'altronde, in questo caso l'insieme è una superficie, ovvero un qualcosa di dimensione 2, per cui il suo bordo deve essere qualcosa di dimensione 1, ovvero delle curve, per l'appunto le due circonferenze di base.


[nota]Ps. per scrivere le lettere greche, tipo il raggio rho in questo caso, basta scrivere

 \rho 

e, più in generale,

 \alpha, \beta, \phi 

ovvero \+nome lettera greca .
Se vuoi le lettere greche maiuscole, come $\Delta, \Gamma, \Sigma$, basta mettere il nome della lettera greca con la maiuscola iniziale:

 \Delta, \Gamma, \Sigma 

.[/nota]