Teorema della divergenza
Buonasera, mi sto dilettando in esercizi sui flussi di campi vettoriali, che sto provando a risolvere sia con che senza il teorema della divergenza. Nello specifico, il seguente problema mi lascia per strada con entrambi i modi (per informazione, il risultato corretto è $4pi32/5$):
Calcolare $phi(F)$ attraverso la superficie sferica S centrata nell'origine di raggio 2, con $F(x,y,z)=yvec(i)+xvec(j)+z^3vec(k)$
Inizialmente ho provato senza divergenza. Parametrizzo la superficie in coordinate sferiche:
$r(varphi, theta) { ( x=2sinvarphicostheta ),( y=2sinvarphisintheta ),( z=2cosvarphi ):} $
$0
Poi ho calcolato
$r_varphi=(2cosvarphicostheta, 2cosvarphisintheta, -2sinvarphi)$
$r_theta=(-2sinvarphisintheta, 2sinvarphicostheta, 0)$
Quindi ho impostato il flusso come:
$phi(F)= int_(0)^(2pi) int_(0)^(pi)F(r(varphi, theta))cdot(r_varphixxr_theta) dvarphi d theta $
Posto che viene un integrale piuttosto complicato, il problema è che anche dandolo in pasto a un calcolatore il risultato viene sbagliato. Vorrei solo sapere se l'errore è di conti o di procedimento.
Passando al teorema della divergenza, ho che la divergenza di F è $3z^2$ e la nuova parametrizzazione è
$r(rho, varphi, theta) { ( x=rhosinvarphicostheta ),( y=rhosinvarphisintheta ),( z=rhocosvarphi ):} $
$0
Da qui però non so come procedere. Ho letto (senza spiegazione) che quando si converte a coordinate sferiche in un integrale triplo, si ha che $dxdydz->rho^2sinphidrhodphid theta$, ma non sono comunque sicuro di avere la questione bene in mano. Come ricavo questo "fattore di correzione"? (giusto perchè se poi invece che coordinate sferiche mi capitassero quelle cilindriche saprei come fare, preferisco non dover imparare a memoria queste espressioni). Qualunque spiegazione mi sarebbe di enorme aiuto
Grazie!
Calcolare $phi(F)$ attraverso la superficie sferica S centrata nell'origine di raggio 2, con $F(x,y,z)=yvec(i)+xvec(j)+z^3vec(k)$
Inizialmente ho provato senza divergenza. Parametrizzo la superficie in coordinate sferiche:
$r(varphi, theta) { ( x=2sinvarphicostheta ),( y=2sinvarphisintheta ),( z=2cosvarphi ):} $
$0
Poi ho calcolato
$r_varphi=(2cosvarphicostheta, 2cosvarphisintheta, -2sinvarphi)$
$r_theta=(-2sinvarphisintheta, 2sinvarphicostheta, 0)$
Quindi ho impostato il flusso come:
$phi(F)= int_(0)^(2pi) int_(0)^(pi)F(r(varphi, theta))cdot(r_varphixxr_theta) dvarphi d theta $
Posto che viene un integrale piuttosto complicato, il problema è che anche dandolo in pasto a un calcolatore il risultato viene sbagliato. Vorrei solo sapere se l'errore è di conti o di procedimento.
Passando al teorema della divergenza, ho che la divergenza di F è $3z^2$ e la nuova parametrizzazione è
$r(rho, varphi, theta) { ( x=rhosinvarphicostheta ),( y=rhosinvarphisintheta ),( z=rhocosvarphi ):} $
$0
Da qui però non so come procedere. Ho letto (senza spiegazione) che quando si converte a coordinate sferiche in un integrale triplo, si ha che $dxdydz->rho^2sinphidrhodphid theta$, ma non sono comunque sicuro di avere la questione bene in mano. Come ricavo questo "fattore di correzione"? (giusto perchè se poi invece che coordinate sferiche mi capitassero quelle cilindriche saprei come fare, preferisco non dover imparare a memoria queste espressioni). Qualunque spiegazione mi sarebbe di enorme aiuto
Grazie!
Risposte
Inizio rispondendoti dal fondo: il fattore di correzione è il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana della trasformazione che hai effettuato, è uno strumento fondamentale per il cambio di variabile negli integrali multipli e se non lo sai usare ti consiglio caldamente di recuperarlo subito!
Perciò, recuperato quello, potrai fare tutti i cambi di variabile che vorrai e saprai sempre come trovare il fattore di correzione; poi, a dirla tutta, questi cambi di coordinate standard li userai talmente tanto che te li imparerai a memoria per frequenza d'uso
Comunque come mai non sai procedere dopo aver applicato il teorema della divergenza?
L'impostazione è corretta, devi risolvere quell'integrale triplo su quell'insieme di integrazione; tale insieme è un parallelepipedo, quindi...
Scrivi cosa è uscito fuori col primo metodo, magari c'è qualche errore di conto; oppure è proprio uno di quei casi in cui, non applicando il teorema della divergenza, l'esercizio è un'apocalisse computazionale e quindi sei quasi obbligato ad usarlo!
Perciò, recuperato quello, potrai fare tutti i cambi di variabile che vorrai e saprai sempre come trovare il fattore di correzione; poi, a dirla tutta, questi cambi di coordinate standard li userai talmente tanto che te li imparerai a memoria per frequenza d'uso
Comunque come mai non sai procedere dopo aver applicato il teorema della divergenza?
L'impostazione è corretta, devi risolvere quell'integrale triplo su quell'insieme di integrazione; tale insieme è un parallelepipedo, quindi...
Scrivi cosa è uscito fuori col primo metodo, magari c'è qualche errore di conto; oppure è proprio uno di quei casi in cui, non applicando il teorema della divergenza, l'esercizio è un'apocalisse computazionale e quindi sei quasi obbligato ad usarlo!
"Mephlip":
Inizio rispondendoti dal fondo: il fattore di correzione è il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana della trasformazione che hai effettuato, è uno strumento fondamentale per il cambio di variabile negli integrali multipli e se non lo sai usare ti consiglio caldamente di recuperarlo subito!
Hai ragionissima, che scemo che sono... mi sono incatramato da solo, stavo mischiando due concetti diversi. Guardavo il $|r_uxxr_v| $ che si aggiunge negli integrali di superficie e per qualche ragione lo consideravo il "fattore di conversione". Il mio problema (pensa che arzigogoli mentali che m'ero fatto!) è che cercavo di capire come fosse possibile fare un prodotto vettoriale in tre dimensioni.
Grazie, per fortuna non devo andare a recuperare nulla, ho gli integrali doppi ancora freschi e con essi ovviamente anche la jacobiana.
Quindi a occhio anche il metodo senza divergenza torna, per come l'ho impostato? Perchè se sono errori di calcoli poco male, l'importante per adesso è essermi inciso bene il concetto nella mente.
Per la cronaca, con la divergenza torna tutto
Ancora grazie!
Prego!
No infatti, la norma del prodotto vettoriale c'è proprio per definizione di integrale di superficie
Comunque il prodotto vettoriale si fa per vettori tridimensionali, casomai è fuori dalle tre dimensioni che ha meno senso col nome di prodotto vettoriale (anche perché in tre dimensioni è semplicemente un caso particolare di quello che viene chiamato "prodotto esterno"); quindi non ho ben capito che intendi con quella parte!
A me sembra corretto anche usando la definizione, ma anche a me sono venuti parecchi prodotti di funzioni trigonometriche di secondo o terzo grado usando la definizione (nulla di che, si fanno, è solo lungo rispetto al teorema della divergenza).
No infatti, la norma del prodotto vettoriale c'è proprio per definizione di integrale di superficie
Comunque il prodotto vettoriale si fa per vettori tridimensionali, casomai è fuori dalle tre dimensioni che ha meno senso col nome di prodotto vettoriale (anche perché in tre dimensioni è semplicemente un caso particolare di quello che viene chiamato "prodotto esterno"); quindi non ho ben capito che intendi con quella parte!
A me sembra corretto anche usando la definizione, ma anche a me sono venuti parecchi prodotti di funzioni trigonometriche di secondo o terzo grado usando la definizione (nulla di che, si fanno, è solo lungo rispetto al teorema della divergenza).
Sì, immagino che quasi tutto si possa, intendevo soltanto che normalmente per un integrale di superficie si fa il prodotto vettoriale tra i vettori che "definiscono" la superficie, ma siccome in questo caso le derivate parziali erano tre, ero lì che cercavo di capire come uscirmene con $|r_rhoxxr_varphixxr_theta|$ perchè ero convinto che fosse il fattore di conversione... mi stavo ridicolizzando da solo.
Amo molto studiare la notte, ma inutile negare che un prezzo da pagare c'è...
Amo molto studiare la notte, ma inutile negare che un prezzo da pagare c'è...
Aaaah, tutto chiaro ora! Tranquillo, capitano queste sviste di distrazione
Eh, temo che prima o poi mi toccherà diventare saggio a mia volta e slittare gli orari indietro di qualche ora... si vedrà, un passo alla volta
Ancora grazie, e - anche se in ritardo - buon anno!
Ancora grazie, e - anche se in ritardo - buon anno!
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