Teorema della densità di Q in R

[Stefano pesce]

Buona sera a tutti, sto cercando disperatamente di capire la dimostrazione del teorema della densità di Q in R, in modo informale, io credo di aver capito che tra due elementi appartenenti all'insieme R esistono infiniti valori.
La tesi più comune di cui dispongo e della quale vorrei avere maggior chiarimenti sulla dimostrazione è la seguente:
siano $ a,binR, EEzinQ : a
Io ho capito che si parte dalla proprietà archimedea, cioè quella proprietà che permette di definire l'insieme N come un insieme superiormente illimitato, in quanto dimostrandola per assurdo si ottiene un elemento che è maggiorante per n, il che è assurdo in quanto viene contraddetta la tesi.
Ma qual è la correlazione tra questa proprietà e questo teorema sulla densità?


Spero di non aver fatto confusione e che ciò che abbia scritto precedentemente si riferisse proprio a questa tesi!
So che forse sembrerebbe che non ci abbia provato, ma il problema è che non capisco proprio come cominciare e che presupposti enunciare per proseguire..

[Luca.Lussardi]

Mi pare che puoi ragionare cosi'. Prima di tutto vedi subito che il solo caso significativo e' $a\ge 0$, tutti gli altri o sono ovvi o si riconducono a questo. Quindi siamo nel caso $0 \le a 1$. L'insieme ${m \in \mathbb N : mnb$, da cui $M>nb-1>na$, cioe' $a

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[Stefano pesce]

Posso chiederti perché per la proprietà di archimede si ottiene $ n(b-a)>1 $ ?
la proprietà di archimede, non dice che :
$ a,binR, EEninN: na>b $
Per assurdo :
$ AA a,binR, EEninN : na cioè
$ n
Cioè che $ b/a $ è maggiorante per N, il che è assurdo.

E' corretta così? Se si, perché poni n(b-a)>1???

[Luca.Lussardi]

E' corretta, ma non ti serve applicata in questo modo, il punto e' che non si applica a $a,b$ ma a $b-a,1$: $b-a>0$ e dunque per $n$ abbastanza grande $n(b-a)>1$. Per capire come mai uno procede cosi' prova a vedere la dimostrazione al contrario. Devi trovare $M,n \in \mathbb N$ tali che $a<\frac{M}{n}1$ di modo da poterci infilare un naturale, che tecnicamente viene il massimo dell'insieme ${m \in \mathbb N : m

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[Stefano pesce]

Credo di aver capito, riscriverò tutto e cercherò di metabolizzare meglio!
Comunque credo che il difficile nelle dimostrazioni, a mio modesto parere chiaramente, sta proprio nell'individuare ciò che al contrario non permetterebbe di rendere vera una tesi, cioè procedendo quasi sempre per assurdo, e in questo caso per esclusione si arriva a quella scrittura perché al contrario, provando altro non funzionerebbe!

[Luca.Lussardi]

si, anche se questa non e' una dimostrazione per assurdo: il mio "contrario" voleva solo significare che per capire una dimostrazione a volte uno deve leggerla "dalla fine" per capire il come mai di certe scelte.