Teorema della convergenza monotona (teorema di beppo levi)
salve a tutti...ho un enorme problema...a breve ci sarà l'esame di analisi tre e non so proprio come risolvere questa tipologia di esercizi... l'esercizio tipo è questo
determinare
$ sum_(n = 1\ldots oo ) int_(1)^(oo ) (exp ^(-nx^2))/(1+ exp ^(-nx^2))^ndx $
per poter risolvere l integrale so che devo verificare le ipotesi di Beppo Levi...ovvero capire se la funzione è misurabile se è positiva q.o. verificare che sia una funzione crescente...una volta verificato ciò posso risolvere l' esercizio...ora che sia misurabile la fuzione è esatto perchè combinazione di funzioni continue...tale funzione è anche positiva perchè l'esponenziale è una funzione positiva quindi il numeratore è positivo e lo è ovviamente anche il denominatore..ho verificato anche che la funzione sia monotona crescente... fino a qui ci siamo...teoricamente l'esercizio è ok....ma praticamente? come si risolve? heeeeeelllllllppppppp meeeeeeee!
determinare
$ sum_(n = 1\ldots oo ) int_(1)^(oo ) (exp ^(-nx^2))/(1+ exp ^(-nx^2))^ndx $
per poter risolvere l integrale so che devo verificare le ipotesi di Beppo Levi...ovvero capire se la funzione è misurabile se è positiva q.o. verificare che sia una funzione crescente...una volta verificato ciò posso risolvere l' esercizio...ora che sia misurabile la fuzione è esatto perchè combinazione di funzioni continue...tale funzione è anche positiva perchè l'esponenziale è una funzione positiva quindi il numeratore è positivo e lo è ovviamente anche il denominatore..ho verificato anche che la funzione sia monotona crescente... fino a qui ci siamo...teoricamente l'esercizio è ok....ma praticamente? come si risolve? heeeeeelllllllppppppp meeeeeeee!
Risposte
Hai verificato le ipotesi del Teorema. Quale è la tesi?
La tesi dice che se f è il limite della successione di funzioni $ f_k $ ( che nel mio caso é la successione delle somme parziali) allora il limitedell integrale di $ f_k $ è uguale all integrale di f.. teoricamente ho capito il concetto...la pratica invece sta a zero...
un dubbio...ma se verifico con beppo levi che
$ ∑_(n=1...∞)∫exp^(−nx2)/(1+exp^(−nx2))ndx $ soddisfa le condizioni di monotonia poi posso svolgere
$ ∫exp^(−nx2)/(1+exp^(−nx2))ndx $e poi inserire il risultato ottenuto nella serie?
$ ∑_(n=1...∞)∫exp^(−nx2)/(1+exp^(−nx2))ndx $ soddisfa le condizioni di monotonia poi posso svolgere
$ ∫exp^(−nx2)/(1+exp^(−nx2))ndx $e poi inserire il risultato ottenuto nella serie?
Sinceramente stavo pensando ad un'altra cosa: quello che hai da calcolare è una cosa di questo tipo
$$\sum_{n=1}^\infty \int_1^\infty f_n(x)\ dx$$
Ora, quello che ti farebbe comodo è far vedere 2 cose:
1) che puoi scambiare tra loro serie ed integrale
2) che la serie $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ converge (come?) alla funzione $f(x)$.
Detto questo allora
$$\sum_{n=1}^\infty \int_1^\infty f_n(x)\ dx=\int_1^\infty f(x)\ dx$$
e il gioco è fatto.
$$\sum_{n=1}^\infty \int_1^\infty f_n(x)\ dx$$
Ora, quello che ti farebbe comodo è far vedere 2 cose:
1) che puoi scambiare tra loro serie ed integrale
2) che la serie $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ converge (come?) alla funzione $f(x)$.
Detto questo allora
$$\sum_{n=1}^\infty \int_1^\infty f_n(x)\ dx=\int_1^\infty f(x)\ dx$$
e il gioco è fatto.
Allora sul primo punto ci sono...dimostrando con beppo levi che c è convergenza monotona lo scambio lo posso fare...il secondo punto il "come" che tu hai posto come domanda è proprio il punto che non mi è chiaro...forse fino ad ora mi sono espressa male...perché il mio problema è capire come fare a determinare f...io so capire se la serie converge o diverge...l insieme di convergenza so determinarlo...ma la f come la determino...?
Stavo guardando il termine generale: io avevo letto questo:
$$f_n(x)=\frac{e^{-nx^2}}{(1+e^{-x^2})^n}$$
mentre mi pare tu abbia scritto
$$f_n(x)=\frac{e^{-nx^2}}{(1+e^{-nx^2})^n}$$
(c'è un $n$ in più nell'esponente dell'esponenziale a denominatore).
Ora, se fosse come dico io, avresti, ricordando che la serie geometrica per $|q|<1$ ha come somma $\sum_{k=k_0}^\infty q^k=\frac{q^{k_0}}{1-q}$ per $k_0\ge 0$
$$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{e^{-x^2}}{1+e^{-x^2}}\right)^n=\frac{e^{-x^2}}{1+e^{-x^2}}\cdot\frac{1}{1-\frac{e^{-x^2}}{1+e^{-x^2}}}=e^{-x^2}$$
e quindi l'integrale risulterebbe
$$\int_1^\infty e^{-x^2}\ dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1-\mathrm{erf}(1))$$
dove ho definito la funzione errore
$$\mathrm{erf}(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\int_0^x e^{-t^2}\ dt$$
Tuttavia effettivamente, questa soluzione non è un valore bene determinato (per la funzione errore è necessario ricorrere a tabelle, e inoltre la serie che hai non è geometrica, per cui quella considerazione 2) che ho scritto non mi pare una idea corretta... almeno così.
Ci devo pensare un po'.
$$f_n(x)=\frac{e^{-nx^2}}{(1+e^{-x^2})^n}$$
mentre mi pare tu abbia scritto
$$f_n(x)=\frac{e^{-nx^2}}{(1+e^{-nx^2})^n}$$
(c'è un $n$ in più nell'esponente dell'esponenziale a denominatore).
Ora, se fosse come dico io, avresti, ricordando che la serie geometrica per $|q|<1$ ha come somma $\sum_{k=k_0}^\infty q^k=\frac{q^{k_0}}{1-q}$ per $k_0\ge 0$
$$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{e^{-x^2}}{1+e^{-x^2}}\right)^n=\frac{e^{-x^2}}{1+e^{-x^2}}\cdot\frac{1}{1-\frac{e^{-x^2}}{1+e^{-x^2}}}=e^{-x^2}$$
e quindi l'integrale risulterebbe
$$\int_1^\infty e^{-x^2}\ dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}(1-\mathrm{erf}(1))$$
dove ho definito la funzione errore
$$\mathrm{erf}(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\int_0^x e^{-t^2}\ dt$$
Tuttavia effettivamente, questa soluzione non è un valore bene determinato (per la funzione errore è necessario ricorrere a tabelle, e inoltre la serie che hai non è geometrica, per cui quella considerazione 2) che ho scritto non mi pare una idea corretta... almeno così.
Ci devo pensare un po'.
In realta non abbiamo neanche mai parlato di una funzione errore...cmq hai ragione al denominatore ho messo una n in piu...ma in generale come si fa a determinare la funzione f a cui converge una serie?
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