Teorema della completezza e numeri irrazionali

[Ipazia360]

Come faccio a provare che - \( \sqrt{2} = \inf \{x \in \mathbb{R}: x^2 < 2 \} \) ? Non riesco a comprendere come posso ricavarlo dall'assioma della completezza e dal fatto che quest'assioma non possa valere, dunque, per l'insieme Q.
Grazie in anticipo

[gugo82]

Un calcolo da seconda superiore mostra che $\{x in RR: x^2 < 2\} =]-sqrt(2), sqrt(2)[$.
Dato che per ogni intervallo $(a,b)$ (uso le tonde per denotare il fatto che l'intervallo può essere indifferentemente aperto o chiuso in uno od entrambi gli estremi) risulta $"inf" (a,b) = a$ (e $"sup"(a,b)=b$), la domanda è banale.

[Ipazia360]

Sì, fin qui c'ero. Ma questa mi appare un'argomentazione ricorsiva che non mi dimostra l'espressione sopra riportata. Nei miei appunti di analisi matematica il ragionamento è molto più complicato e fa utilizzo delle condizioni delle definizioni di insieme superiormente od inferiormente limitato. Comunque grazie lo stesso