Teorema del Dini e prolungamento delle soluzioni

[dissonance]

Se abbiamo una $f:\Omega\subRR^2\toRR$ con $Omega$ aperto, $f\inC^1$, conosciamo una soluzione $(x_0, y_0)$ dell'equazione (*) $f(x, y)=0$ e sappiamo che una delle derivate parziali è non nulla (diciamo $(delf)/(dely)(x_0, y_0)!=0$), allora l'equazione (*) definisce una funzione $C^1$ $y=y(x)$ quantomeno per $x$ in un intorno di $x_0$. E questo è il famoso Teorema del Dini.

Supponiamo di essere nelle ipotesi di sopra.
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[size=75]Abbiamo allora che in un intorno di $(x_0, y_0)$ le soluzioni di (*) sono il grafico di una funzione $y=y(x)$. Ma quanto è grande l'insieme di definizione di questa $y(x)$? Posso trovarne un prolungamento massimale, come per le ODE verificanti le condizioni di Cauchy-Lipschitz?[/size]
[edit] vedi post successivo.

[dissonance]

Per la verità stavo riflettendo su un problema leggermente diverso, ma non riesco a venirne a capo.

Oltre alla condizione sufficiente di cui sopra il Teorema del Dini fornisce anche l'espressione della derivata della funzione implicita: $y'(x)=-[del_xf(x, y(x))]/[del_yf(x, y(x))]$, valida per $x$ in un intorno di $x_0$. Dalle ipotesi noi sappiamo pure che $y(x_0)=y_0$. Quindi di sicuro la funzione $y(x)$ è una soluzione locale del p.d.C.:
$("pdC")\ {(y'(x)=-[del_xf(x, y(x))]/[del_yf(x, y(x))]), (y(x_0)=y_0):}$.

Mettiamo il caso che su $("pdC")$ noi abbiamo un teorema di esistenza e unicità globale, magari sappiamo che esiste un'unica soluzione definita su tutto $RR$. Possiamo dire che questa soluzione è soluzione pure dell' equazione $(*):f(x, y)=0$?

In altri termini: se passiamo dall'equazione in forma implicita all'equazione differenziale e la risolviamo, siamo sicuri di ottenere una (l'unica?) soluzione dell'equazione in forma implicita?

[dissonance]

Riesumo questo vecchissimo post per un riferimento bibliografico che tratta proprio la stessa questione: il monografico di Krantz e Parks "The implicit function theorem", capitolo 4. Il teorema 4.1.3 è esattamente una dimostrazione del teorema del Dini partendo dal teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie.