Teorema del Dini

[laurapa1]

Scusate ragazzi ho un piccolo dubbio...se io ho un insieme $ D1 = [(x,y) in R^2 : xy(2x+y-2)=0] $ e devo trovare i punti dove sono verificate le ipotesi del teorema del Dini, come devo fare? Basta che trovo i punti dove il gradiente è zero e poi vuol dire che i punti cercati sono tutti tranne quelli? o sbaglio?

[regim]

Dipende rispetto a quale variabile intendi esplicitare, in quei punti ove il gradiente e' nullo il teorema della funzione implicita non garantisce l'esistenza di nessuna implicita. Parlo dei punti intendendo in un intorno del punto ove il gradiente e' nullo.

[laurapa1]

scusami, ma allora come dovrei procedere per questo esercizio...?

[regim]

Beh devi intanto partire dai punti dove la funzione si annulla, perche' in questo caso il secondo membro e' zero, che e' un caso del tutto generale a cui si puo' ricondurre l'altro, cioe' quello in cui al posto di $0$ hai un altro valore, e verificare se almeno una delle due derivate parziali e' diversa da zero, cioe' se il gradiente non e' il vettore nullo, allora sara' verificata l'ipotesi di Dini.

[laurapa1]

quindi mi basta risolvere il seguente sistema che ha come equazioni:
-la componente del gradiente =0
-l'altra componente del gradiente=0
-l'insieme dato.
Le soluzioni di questo sistema saranno i punti dove non vale il teorema del dini, mentre gli altri si, ho capito bene