Teorema del Dini

[Controllore1]

Ragazzi, scusatemi, ho capito che il teorema del Dini dice che se la derivata parziale rispetto ad x o quella rispetto ad y sono diverse da 0 in un punto, in quel punto è possibile esplicitare la funzione e renderla di una variabile. Quello che non mi torna è il senso che ha! Ad un certo punto compare la formula $ y'(x)= - (gx(x,y)) / (gy(x,y)) $ e non ho capito nè il significato di questa e nè da dove esce fuori la funzione g (anche se penso si tratti di un vincolo!). Potreste spiegarmela facilmente a parole che è più comprensibile? Grazie mille!!![/img]

[vict85]

$g$ è il vincolo. $g_x(x,y)$ e $g_y(x,y)$ sono le derivate parziali di $g$ rispetto a $x$ e $y$ rispettivamente.

Senza la possibilità di fare disegni è difficile "mostrare" graficamente il tutto comunque di fatto tu hai localmente una curva su un piano (quello $z=0$) che non è parallela all'asse $y$ (derivata rispetto a $y$ diversa da $0$) e quindi le $y$ della curva sono localmente definite da una funzione della $x$.

[Controllore1]

Ho capito, ma per $ y'=- (gx) / (gy) $ si intende il coefficiente angolare della retta tangente al vincolo??? Scusami ancora...

[vict85]

"Controllore":Ho capito, ma per $ y'=- (gx) / (gy) $ si intende il coefficiente angolare della retta tangente al vincolo??? Scusami ancora...

si intende che la derivata di y è l'opposto del rapporto delle due derivate direzionali. Che essendo in dimensione 1 è anche il coefficiente angolare della retta.

Il teorema ha comunque versioni più generali in cui quella formula, adeguatamente adattata, si mantiene.