Teorema del Dini

[thedarkhero]

Il teorema del Dini in dimensione 3 consente di descrivere localmente una coordinata in funzione delle altre due. Ma esistono casi in cui consenta di esprimere due coordinate in funzione della terza?

[dissonance]

Certo. Sempre lo stesso teorema. Naturalmente devi avere due equazioni in tre incognite per fare una cosa di quel genere.

[thedarkhero]

Quindi se io descrivo una sottovarietà in $RR^3$ come $f(x,y,z)=0$ il Dini mi consente di ricondurmi sempre a una riparametrizzazione locale di esattamente due parametri, giusto?

[dissonance]

Ma si. Questo è proprio il teorema di Rouché-Capelli, solo che in versione non lineare. La dimensione dello spazio delle soluzioni è la differenza tra il numero di incognite e il numero di equazioni (a patto che queste siano linearmente indipendenti). Nel caso non lineare del teorema del Dini non si può parlare direttamente di indipendenza lineare, ma si può fare il discorso locale che sai richiedendo che certe derivate non si annullino.

[thedarkhero]

Cosa significa che le variabili con cui si "parametrizza" sono complementari a dove il rango del differenziale è massimo? (l'ho scritto negli appunti ma non mi è chiaro )

[dissonance]

Significa che, se hai una equazione

$f(x, y)=0$,

un punto $(x_0, y_0)$ che la risolve e sai che la derivata $(partial f)/(partial y)(x_0, y_0)$ non si annulla, allora puoi risolvere la $y$ in funzione della $x$. In generale, le variabili relativamente alle quali il differenziale ha rango massimo sono quelle che possono essere risolte in funzione delle altre.

Per ricordarti questa cosa, pensa sempre alle equazioni lineari. Se hai una equazione lineare

$ax + by = c$

e sai che $b ne 0$, allora puoi scrivere $y=(c-ax)/b$, ovvero esprimere $y$ in funzione di $x$. Nel caso non lineare è (localmente) la stessa cosa: naturalmente non esiste più un coefficiente $b$, ma la derivata rispetto ad $y$ ne è un buon surrogato.