Teorema del Dini

[thedarkhero]

Si consideri la funzione $f:RR^3->RR$ cosi' definita: $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-R^2$.
Sia $S=f^(-1)(0)$ la superficie della sfera.
Sia $P=(0,0,R)$ il 'polo nord' di S.
Il rango del differenziale valutato in P e' $rk df(P)=rk(2x_1,2x_2,2x_2)_P=rk(0,0,2R)=1$ che e' massimo.
Allora per il teorema del Dini esiste una mappa $UsubRR^2->RR^3$ tale che $(q_1,q_2)->(q_1,q_2,sqrt(R^2-q_1^2-q_2^2))$ con $U={x^2+y^2,R^2}$.
Questo stabilisce un omeomorfismo tra la "calotta boreale" della sfera e il disco aperto di raggio R nel piano.
Ma come si fa a capire che U e' proprio quell'insieme?

[dissonance]

Certo non te lo dice il teorema del Dini. Il teorema ti dice che in un certo intorno (che non si sa qual è) succede che si può rappresentare $f^{-1}(0)$ come grafico di una certa funzione.

Se vuoi trovare questo intorno e questa funzione te la vedi tu e il mese di Marzo, come si dice a Bari: significa che bisogna arrangiarsi volta per volta. In questo caso, ad esempio, si è ragionato geometricamente.